Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

(2) ω A (u, v) = 0 (A = 1, . . . , k) para todo u, v ∈ W .
Demostración:
Supongamos que W es isotrópico, esto es W ⊂ W ⊥ .
Entonces si u, v ∈ W se verifica ω A (u, v) = 0 puesto que u ∈ W ⊥ .
Recíprocamente, para cada par de elementos u, v ∈ W se verifica (por hipótesis)
ω A (u, v) = 0 (A = 1, . . . , k). Entonces fijado u ∈ W se tiene que
ω A (u, v) = 0 (A = 1, . . . , k) para cada v ∈ W ,
esto es, u ∈ W ⊥ . Por lo tanto obtenemos que W ⊂ W ⊥ , es decir, W es isotrópico.
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Además de los contenidos que aparecen recogidos en Awane [7], demostraremos,
en esta memoria, el siguiente resultado que nos permite establecer una caracterización
de los subespacios vectoriales k-simplécticos.
Proposición B.6 Sea (U, ω 1 , . . . , ω k ; V ) un espacio vectorial k-simpléctico y W un
subespacio lineal de U. W es un subespacio k-simpléctico si, y sólo si, W con la restricción
de la estructura k-simpléctica de U a W es un espacio vectorial k-simpléctico.
Demostración:
Supongamos que W es un subespacio k-simpléctico de (U, ω 1 , . . . , ω k ; V ), esto es,
W ∩ W ⊥ = {0}.
Consideremos la restricción ωA W a W de las 2-formas ωA , a continuación probaremos
que (W, ω1 W , . . . , ωk W , V ∩ W ) es un espacio vectorial k-simpléctico.
Dado u, v ∈ V ∩ W se obtiene
ω A W (u, v) = ω A |V ×V (u, v) = 0, (A = 1, . . . , k).
Por otro lado, si u ∈ ∩ ker ω A W entonces ωA (u, v) = 0, (A = 1, . . . , k) para
todo v ∈ W , entonces u ∈ W ⊥ . Así, puesto que u ∈ W ∩ W ⊥ = {0} deducimos
∩ ker ωA W = {0}.