Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

92 3 Teoría de Campos con ligaduras no-holonómicas. Enfoque k-simpléctico.
Definición 3.10 Definimos un fibrado vectorial g F → Q del siguiente modo: para
cada q ∈ Q se denota por g F (q) el subespacio lineal de g dado por:
g F (q) = {ξ ∈ g / η(ξ C Q)(wq) = 0 para todo η ∈ F y wq ∈ M ∩ (τ k Q) −1 (q)} ,
y se define
g F :=
g F (q) ⊂ g .
q∈Q
A cada sección ξ de g F → Q, le podemos asociar un campo de vectores ξQ en Q
de acuerdo con la siguiente definición:
ξQ(q) : = [ ξ(q)]Q(q) . (3.16)
Definición 3.11 Para cada A (A = 1, . . . , k), la A-ésima componente (J nh ) A
de la aplicación momento no-holonómica es la aplicación
construida como sigue:
(J nh ) A : M → (Sec(g F )) ∗
Sea ξ : Q → g F cualquier sección de g F , entonces definimos la aplicación
(J nh ) A ξ a lo largo de M como sigue,
(J nh ) A ξ : M → R
wq ↦→ (J nh ) A ξ (wq) = (J nh ) A (wq)( ξ(q)): = (ı ξC θ
Q
A L )(wq)
donde ξQ es el campo de vectores asociado a ξ definido en (3.16).
(3.17)
Observación 3.12 En el caso particular k = 1, correspondiente con la Mecánica
Clásica Autónoma, la definición anterior coincide con la definición de la aplicación
momento no-holonómica introducida por Marsden et al en [11].
Observación 3.13 La aplicación (J nh ) A ξ es la versión no-holonómica de la A-ésima
componente J(0, . . . , A
ξ, . . . , 0) = θA L (ξT 1 k Q), de la aplicación momento en la variedad
polisimpléctica T 1 k Q, definida por F. Munteanu et al. en [107], cuando consideramos
la estructura polisimpléctica definida a partir de ωA L = −dθA L , 1 ≤ A ≤ k.