Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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170 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie La aplicación τ k k : (T ⊕T Q T Q ) 1 k(T 1 k Q) ≡ T 1 k (T 1 k Q) → T 1 k Q se corresponde con τ k T 1 k Q: T 1 k (T 1 k Q) → T 1 k Q ya que La aplicación τ k T 1 k Q((T (τ k Q )(v1wq ), v1wq ), . . . , (T (τ k)(vkwq Q ), vkwq )) = wq = τ k T 1 , . . . , vkwq ) . k Q(v1wq τ k 1 : (T T Q ) 1 k(T 1 k Q) ≡ T 1 k (T 1 k Q) → T 1 k Q se identifica con T 1 k (τ k Q ): T 1 k (T 1 k Q) → T 1 k Q ya que τ k 1 ((T (τ k Q )(v1wq ), v1wq ), . . . , (T (τ k)(vkwq Q ), vkwq )) = (T (τ k Q )(v1wq ), . . . , T (τ k)(vkwq Q )) = T 1 k (τ k)(v1wq Q , . . . , vkwq ) . Con la idea de simplificar la notación un elemento ((a1q, v1bq ), . . . , (akq, vkbq )) de (TE ) 1 k k ( ⊕ E) lo escribiremos como sigue: (aq, vbq) donde aq: = (a1q, . . . , akq) ∈ k ⊕ E y vbq: = (v1bq , . . . , vkbq ) ∈ T 1 k k ( ⊕ E). B. Secciones de (TE ) 1 k k ( ⊕ E) y campos de k-vectores en k ⊕ E. En este apartado asociaremos un campo de k-vectores en k ⊕ E a cada sección de (TE ) 1 k k ( ⊕ E). Esta correspondencia es fundamental para desarrollar la formulación lagrangiana k-simpléctica en algebroides de Lie. ⋄
5.3.2 Ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden. 171 Lema 5.21 Sea ξ : k ⊕ E → (TE ) 1 k k ( ⊕ E) una sección de la proyección τ k k . Entonces ⊕E ξ define una familia {ξ1, . . . , ξk} de secciones de τ k ⊕E : TE ( k ⊕ E) → k ⊕ E. Demostración: Teniendo en cuenta que (TE ) 1 k k ( ⊕ E) es, por definición, la suma de Whitney de k copias del fibrado prolongación TE ( k ⊕ E), la familia {ξ1, . . . , ξk} se obtiene sin más que considerar la proyección sobre cada una de las copias tal como muestra el siguiente diagrama para cada A = 1, . . . , k. donde (TE ) 1 k k ( ⊕ E) = TE ( k ⊕ E)⊕ k . . . ⊕TE ( k ⊕ E) τ k,A ξ k ⊕E k ξA k E ⊕ E T ( ⊕ E) τ k,A k : (T ⊕E E ) 1 k ( k ⊕ E) → T E ( k ⊕ E) ((a1q, v1bq ), . . . , (akq, vkbq )) ↦→ (aAq, vAbq ) denota la proyección canónica sobre la A-ésima copia de TE ( k ⊕ E) en (TE ) 1 k k ( ⊕ E). Proposición 5.22 Sea ξ = (ξ1, . . . , ξk): k ⊕ E → (TE ) 1 k k ( ⊕ E) una sección de τ k k Entonces (ρ τ (ξ1), . . . , ρ τ (ξk)): k ⊕ E → T 1 k ( k ⊕ E) es un campo de k-vectores en k ⊕ E. Recordemos que la aplicación denota el ancla del algebroide T E ( k ⊕ E). ρ τ : T E ( k ⊕ E) ≡ E ×T Q T ( k ⊕ E) → T ( k ⊕ E) ⊕E .
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A mi familia
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+ ∂H ∂p B j = 0 ∂H ∂qj
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En efecto, consideramos la siguient
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= { + − + ∂2L ∂qj ∂vi
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Apéndice B Espacios vectoriales k-
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(2) ω A (u, v) = 0 (A = 1, . . . ,
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Apéndice C Índice de símbolos En
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M ⊂ T 1 k Q Subvariedad de ligadu
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ˆπQ : R k × Q → Q (ˆπQ)1,0 :
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Bibliografía [1] R. Abraham-J. E.
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Bibliografía 381 [25] J. Cortés,
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Bibliografía 383 [50] M.J. Gotay,
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Bibliografía 385 [75] M. de León,
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Bibliografía 387 [100] E. Martíne
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Bibliografía 389 [124] D. J. Saund
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