Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

176 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
entonces, teniendo en cuenta la expresión (5.38) de los campos de vectores asociados
a ξ1, . . . , ξk, deducimos que la condición de ser sección integral (5.39) es equivalente
a la familia de identidades,
∂ηi ∂tA
t
= η α A(t)ρ i α(τ(η(t)) ,
∂η β
B
∂tA
t
= (ξA) β
B (η(t)) , (5.40)
donde τ: k
⊕ E → Q es la proyección canónica definida por la relación τ(aq) = q.
5.3.3. Formalismo lagrangiano.
En esta subsección vamos a describir la formulación lagrangiana k-simpléctica
en algebroides de Lie.
Con la finalidad de simplificar la notación, a lo largo de esta sección denotaremos
por d la diferencial exterior en el algebroide de Lie TE ( k
⊕ E), esto es,
d: = d TE ( k
⊕E) .
Una función L : k
⊕ E → R se llamará función lagrangiana. En primer lugar
vamos a introducir algunos objetos geométricos asociados a una función lagrangiana
L.
A. Secciones de Poincaré-Cartan o secciones lagrangianas.
De modo análogo a lo que ocurre en el formalismo k-simpléctico estándar, a
partir de los endormofismos verticales J 1 , . . . , J k y dada L una función lagrangiana
se definen las siguientes 1-secciones de (TE ( k
⊕ E)) ∗
Θ A L
en donde Θ A L (bq) es la aplicación
: k
⊕ E −→ (T E ( k
⊕ E)) ∗
bq ↦−→ Θ A L (bq)
1 ≤ A ≤ k
Θ A L(bq): (T E ( k
⊕ E))bq ≡ Eq ×T Q Tbq( k
⊕ E) −→ R