Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

224 6 Formulación k-cosimpléctica de las Teorías Clásicas de Campos
6.1.1. Fundamentos geométricos.
A continuación vamos a describir la variedad R k × (T 1 k )∗ Q, sobre la que se desarrolla
la formulación hamiltoniana k-cosimpléctica. Dotaremos a esta variedad de
una estructura k-cosimpléctica, véase M. de León [83].
A. La variedad R k × (T 1 k )∗ Q.
Sea Q una variedad diferenciable de dimensión n. En este apartado vamos a
considerar la variedad R k × (T 1 k )∗ Q, donde (T 1 k )∗ Q denota el fibrado de las k 1 -
covelocidades que hemos explicado en la sección 1.1.1.A.
Así un elemento de R k × (T 1 k )∗ Q es una familia
(t, α1q, . . . , αkq)
formada por un elemento t ∈ R k y k covectores α1q, . . . , αkq sobre el mismo punto
base q de Q.
En el siguiente diagrama conmutativo se recoge la notación que emplearemos
para referirnos a algunas de las proyecciones canónicas que utilizaremos a lo largo
de esta segunda parte de la memoria.
Rk × (T 1 k )∗Q (ˆπQ)1, 0
R
(ˆπQ)1
k × Q
ˆπQ
Q
ˆπ R k
k R
Estas proyecciones están definidas como se indica a continuación:
ˆπQ(t, q) = q , (ˆπQ)1,0(t, α1q, . . . , αkq) = (t, q),
ˆπ R k(t, q) = t , (ˆπQ)1(t, α1q, . . . , αkq) = q ,
con t ∈ R k , q ∈ Q y (α1q, . . . , αkq) ∈ (T 1 k )∗ Q.
La variedad R k × (T 1 k )∗ Q es difeomorfa a la variedad J 1 ˆπQ de 1-jets de secciones
σ = (σ R k, idQ) del fibrado trivial ˆπQ : R k × Q → Q, por medio del difeomorfismo
dado por
J 1 ˆπQ → R k × (T 1 k )∗ Q
j 1 qσ = j 1 q(σ R k, idQ) ↦→ (σ R k(q), α1q, . . . , αkq)