Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

98 3 Teoría de Campos con ligaduras no-holonómicas. Enfoque k-simpléctico.
Asumiendo que la línea de centros es una curva plana moviéndose en el plano
horizontal se tiene r(t, s) = (x(t, s), y(t, s), 0). Se define el ángulo θ(t, s), al que
se denomina torsión, como el ángulo entre el eje ez y d1., véase la figura 3.1. Los
vectores directores quedan completamente determinados a partir de la torsión θ y
un segundo parámetro ϕ denominado pendiente y que se define por (cosϕ, senϕ) =
( ∂x
∂s
∂y
(t, s), (t, s)). Para más detalles véase [136] y referencias allí indicadas.
∂s
El modelo de segundo orden descrito en [135] se enmarca en la teoría multisimpléctica
desarrollada sobre J 1 π, siendo π : Y → X, donde X generalmente juega
el papel del espacio-tiempo y las secciones del fibrado π son los campos en esta
teoría. En este caso particular el espacio base X es R × [0, l] (tiempo y espacio), con
coordenadas (t, s) y el espacio total Y es X × R 2 × S 1 , con coordenadas (x, y, θ) en
la fibra. En este modelo, los campos nos dan las coordenadas de la líneas de centros
(x(t, s), y(t, s)) y el ángulo de torsión θ(t, s)
El lagrangiano que se considera en este modelo viene dado por
L = ρ
2 ( ˙x2 + ˙y 2 ) + α
2 ˙ θ 2 − 1
2 (β(θ′ ) 2 + Kk 2 ) ,
donde k = (x ′′ ) 2 + (y ′′ ) 2 , mientras que las ligaduras están dadas por
˙x + R ˙ θy ′ = 0 y ˙y − R ˙ θx ′ = 0 .
Aquí ρ, α, β, K y R son parámetros reales y ˙x = ∂x/∂t, x ′ = ∂x/∂s (análogo para
y y θ). Este modelo es una simplificación matemática del problema físico real.
Para poder enmarcar este modelo en las teorías de campos k-simplécticas (teorías
de primer orden), es necesario llevar a cabo un proceso de reducción del orden del
problema para obtener un lagrangiano de primer orden. Para hacer esto introducimos
dos nuevas variables z = x ′ y v = y ′ y obtenemos el lagrangiano modificado
L = ρ
2 ( ˙x2 + ˙y 2 ) + α
2 ˙ θ 2 − 1
2 (β(θ′ ) 2 + K((z ′ ) 2 + (v ′ ) 2 )) + λ(z − x ′ ) + µ(v − y ′ ) ,
donde λ y µ son los multiplicadores de Lagrange asociados a las ligaduras z = x ′ y
v = y ′ que hemos impuesto. Este lagrangiano se puede pensar como una aplicación
definida sobre T 1 2 Q donde Q = R 2 × S 1 × R 4 , y reescribiéndolo con la notación
introducida en el capítulo 1 obtenemos un modelo 2-simpléctico de la barra Cosserat
donde el lagrangiano L : T 1 2 Q → R viene dado por
L = ρ
2 ((v1 1) 2 + (v 2 1) 2 ) + α
2 (v3 1) 2 − β
2 (v3 2) 2 − K
2 ((v4 2) 2 + (v 5 2) 2 ) + q 6 (q 4 − v 1 2) + q 7 (q 5 − v 2 2)