Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

252 6 Formulación k-cosimpléctica de las Teorías Clásicas de Campos
x
y
f(t,x,y)
Figura 6.1: Membrana vibrante
La ecuación (6.33) puede expresarse como un ejemplo de ecuaciones de Euler-
Lagrange asociadas a una función lagrangiana L definida sobre el fibrado R 3 × T 1 3 R.
Si definimos L : R 3 × T 1 3 R → R por
L(t 1 , t 2 , t 3 , q, v1, v2, v3) = 1
2 (v2 1 − c 2 (v 2 2 + v 2 3))
donde q representa la variable φ y vA la variable ∂φ/∂t A , 1 ≤ A ≤ 3; entonces
∂L
= v1,
∂v1
∂L
= −c
∂v2
2 v2, ∂L
∂v3
Evaluando las identidades previas en
se obtiene
∂L
∂v1
φ [1] (t)
= ∂φ
∂t1
,
t
∂L
∂v2
Por lo tanto se tiene
3 ∂
∂tA
∂L
∂tA
A=1
φ [1] (t) = (t, φ(t), ∂φ
∂t1
φ [1] (t)
φ [1] (t)
t
2 ∂φ
= −c
∂t2
,
t
∂L
∂v3
= ∂2φ
= −c 2 v3, ∂L
∂q
∂φ
∂t2
,
t
∂φ
∂t3
)
t
φ [1] (t)
= 0 .
2 ∂φ
= −c
∂t3
t
, ∂L
∂q
∂(t1 ) 2
− c
t
2 ∂2φ ∂(t2 ) 2
− c
t
2 ∂2φ ∂(t3 ) 2
t
y así las ecuaciones (6.33) se pueden escribir como sigue:
3 ∂
∂tA
∂L
∂tA
A=1
φ [1] (t)
= ∂L
∂q
φ [1] (t)
siendo este un ejemplo de las ecuaciones de campos de Euler-Lagrange.
,
φ [1] (t)
= 0 .