Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

7.4.3 Equivalencia entre los principios variacionales. 301
Entonces
(φ [1]
Q )∗ ((F L) ∗ θ∇ − Ld k t) = (φ [1]
Q )∗ (
donde hemos utilizado la igualdad
(φ [1]
Q )∗ (
k
A=1
dL ◦ S dt A ∧ d k−1 t A + E ∇ L d k t) = (φ [1]
Q )∗ (E ∇ L d k t)
k
dL ◦ SdtA ∧ d k−1 t A ) = 0 , (7.47)
A=1
que demostramos a continuación.
Veamos que (7.47) se verifica. De la expresión local (7.10) de S dt A, tenemos
entonces
k
(dL ◦ SdtA ∧ d k−1 t A ) =
A=1
(φ [1]
Q )∗
∂v
A=1
i A
dL ◦ SdtA = ∂L
∂vi (dq
A
i − v i Bdt B )
k
∂v
A=1
i A
pero, por otra parte
k
∂L
(dq i − v i Bdt B ) ∧ d k−1 t A
=
=
k
∂L
A=1
∂v i A
k
∂L
A=1
∂v i A
◦ φ [1]
Q
obteniendo así la identidad (7.47).
∂L
(dq i − v i Bdt B ) ∧ d k−1 t A
d(q i ◦ φ [1]
Q ) − (vi B ◦ φ [1]
Q )d(tB ◦ φ [1]
Q )
∧ d k−1 (t A ◦ φ [1]
Q )
◦ φ [1]
i ∂(q ◦ φQ)
Q
∂tB dt B − ∂(qi ◦ φQ)
∂tB dt B
∧ d k−1 t A = 0 ,
7.4.3. Equivalencia entre los principios variacionales.
Los resultados que se han ido desarrollando a lo largo del capítulo, y en especial
la última proposición que se ha demostrado, nos permiten mostrar la equivalencia