Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

198 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
En este caso cuando Q es un único punto, esto es ¯ Q = G entonces T ¯ Q/G = g y
entonces el lagrangiano está definido como una función L : k
⊕ g −→ R y las ecuaciones
anteriores se reducen ahora a
d
dtA
∂L
= −c c aby b ∂L
C
∂y a A
∂y c C
0 = ∂yc A
∂t B − ∂yc B
∂t A + cc aby b Ay a B .
Estas ecuaciones coinciden con la expresión local de las ecuaciones de Euler-
Poincaré que podemos encontrar en [18, 19, 20, 97]). Por ejemplo en [19] los autores
obtienen estas ecuaciones en el estudio de algunos ejemplos de aplicaciones armónicas
desde el enfoque variacional.
5.4. Formalismo hamiltoniano.
En esta sección desarrollamos el formalismo hamiltoniano k-simpléctico en algebroides
de Lie, que generaliza la Mecánica hamiltoniana el algebroides de Lie,
véase [24, 72], y el formalismo hamiltoniano k-simpléctico estándar, véase capítulo
1. La estructura de esta sección es similar a la del caso lagrangiano que se acaba de
describir.
Sea (E, [·, ·]E, ρ) un algebroide de Lie sobre una variedad Q. Para el enfoque
hamiltoniano se considera el fibrado dual de E, esto es, el fibrado τ ∗ : E ∗ → Q.
5.4.1. Elementos geométricos.
A. La variedad k
⊕ E ∗ .
Recordemos que el formalismo k-simpléctico hamiltoniano estándar se desarrolla
sobre el fibrado de las k 1 -covelocidades
(T 1 k ) ∗ Q = T ∗ Q⊕ k . . . ⊕T ∗ Q .
Pensando un algebroide de Lie E como un sustituto del fibrado tangente y su
dual E ∗ un sustituto del fibrado cotangente, es natural pensar que el análogo de
(T 1 k ) ∗ Q sea la suma de Whitney sobre Q de k copias del espacio dual E ∗ .