Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

50 2 Simetrías y Leyes de conservación
Es immediato a probar que, si Y1, Y2 ∈ X((T 1 k )∗ Q) son simetrías infinitesimales
de Cartan, entonces [Y1, Y2] también lo es.
Además, se verifica el siguiente resultado que nos permite garantizar que una
simetría de Cartan lleva soluciones de las ecuaciones geométricas de Hamilton (1.15)
en otras soluciones de las mismas ecuaciones.
Proposición 2.10 Si Φ: (T 1 k )∗ Q → (T 1 k )∗ Q es una simetría de Cartan de un sistema
hamiltoniano k-simpléctico ((T 1 k )∗ Q, ω A , H), y X = (X1, . . . , Xk) ∈ X k H ((T 1 k )∗ Q),
esto es, X es solución de la ecuación geométrica de Hamilton (1.15), entonces
Φ∗X = (Φ∗X1, . . . , Φ∗Xk) ∈ X k H ((T 1 k )∗ Q).
Demostración:
Sea Φ: (T 1 k )∗ Q → (T 1 k )∗ Q una simetría de Cartan.
Para cada X = (X1, . . . , Xk) ∈ X k H ((T 1 k )∗ Q) calculamos
Φ ∗ [
k
A=1
ıΦ∗XA ωA − dH] =
k
A=1
ıXA (Φ∗ ω A ) − d(Φ ∗ H) =
por tanto, como Φ es un difeomorfismo, esto es equivalente a
k
A=1
ıΦ∗XA ωA − dH = 0 ,
y por tanto Φ∗X = (Φ∗X1, . . . , Φ∗Xk) ∈ X k H ((T 1 k )∗ Q).
k
A=1
ıXA ωA − dH = 0
Para finalizar esta sección asociaremos a cada simetría de Cartan infinitesimal
una ley de conservación.
Proposición 2.11 Sea Y ∈ X((T 1 k )∗ Q) una simetría de Cartan infinitesimal de un
sistema hamiltoniano k-simpléctico ((T 1 k )∗ Q, ω A , H). Entonces, para A = 1, . . . , k,
y para cada p ∈ (T 1 k )∗ Q, existe un entorno abierto Up del punto p, tal que:
(1) Existen k funciones, únicas salvo constantes, F A ∈ C ∞ (Up) , tales que
ıY ω A = dF A , 1 ≤ A ≤ k , (en Up) . (2.10)