Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

270 7 Formalismo k-cosimpléctico y conexiones no lineales en R k × Q → R k .
Consideremos ahora la sección local
φ(t,q) : U ⊂ R k → R k × Q
definida en un entorno de t y tal que
φ(t,q)(t) = (t, q) ,
Ttφ(t,q) = (T(t,q)ˆπ Rk entonces tenemos una sección
H(t,q)(ˆπ R k )
Ψ : R k × Q → J 1 (ˆπ R k) ≡ R k × T 1 k Q
(t, q) ↦→ j 1 t φ(t,q)
que es diferenciable ya que la descomposición
depende diferenciablemente de (t, q).
T(t,q)(R k × Q) = V(t,q)(ˆπ R k) ⊕ H(t,q)(ˆπ R k)
(2 ⇒ 3) Dado el subfibrado H(ˆπ R k) y la descomposición
sean
T (R k × Q) = H(ˆπ R k) ⊕ V (ˆπ R k),
) −1
h : T (R k × Q) → H(ˆπ R k) y v : T (R k × Q) → V (ˆπ R k)
las proyecciones sobre H(ˆπ R k) y V (ˆπ R k) respectivamente. Estas proyecciones inducen
la descomposición
X = h(X) + v(X)
para cada X ∈ X(R k × Q). Entonces podemos definir la aplicación
∇ : X(R k × Q) → X(R k × Q)
X ↦→ h(X)
que es un C ∞ (R k × Q)-morfismo y verifica trivialmente las siguientes propiedades:
(1) ∇ se anula sobre los campos de vectores ˆπ R k-verticales.
(2) ∇ ◦ ∇ = ∇.
Esto es consecuencia de que ∇(∇(X)) = h(h(X)) = h(X) para todo X ∈
X(R k × Q).