Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

7.2.2 Formalismo hamiltoniano. 287
Por otra parte, un sencillo cálculo en coordenadas locales a partir de las expresiones
locales (7.23), (7.26), (7.31) y (7.33) de η A ∇ , H∇ , R ∇ A y XA, obtenemos:
dH ∇ −
k
A=1
R ∇ A(H ∇ )dt A =
+
Γ i Bp A j
∂H
∂q i − pA j
∂Γ j
A
∂qi − Γi ∂H
B
∂qi + pAj ∂Γ j
A
∂qi
dq i
∂H
+
∂pA i
∂Γ j
B
∂qi ∂H
∂pA i
− Γ i A
− p A j
∂Γ j
B
∂qi Γi
A dt B
dp A i , (7.35)
donde H : Rk × (T 1 k )∗Q → R denota la función hamiltoniana asociada a la conexión
estándar, (recordemos que por (7.26) se verifica H∇ = H + ηA ∂
∇ ( ))
∂tA Entonces, de (7.32), (7.34) y (7.35) se obtiene que (X1 . . . , Xk) es solución de las
ecuaciones (7.27) si, y sólo si,
p A i
∂Γ i B
∂t A + pA i (XA) j ∂Γi B
∂q j + (XA) A i Γ i B − p A i
∂Γ i A
∂t B = Γi B pA j
+ p A j
(XA)B = δ A B ,
∂Γ j
A
∂qi − Γi ∂H
B
∂qi ∂Γ j
B
∂qi ∂H
∂pA i
k
(XA) A i = − ∂H
,
∂qi A=1
(XA) i = ∂H
∂p A i
.
− p A j
∂Γ j
B
∂q i Γi A ,
Sustituyendo las tres últimas ecuaciones en la primera y simplificando se llega al
siguiente sistema de ecuaciones en derivadas parciales, equivalente al anterior:
i ∂ΓB = 0 ,
p A i
∂tA − ∂ΓiA + Γj
∂tB A
∂Γi B
− Γj
∂qj B
∂Γ i A
∂q j
(XA)B = δ A B ,
k
(XA) A i = − ∂H
,
∂qi A=1
(XA) i = ∂H
∂p A i
.