Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

2.2 Caso lagrangiano. 53
Teorema 2.15 (Noether): Si Y ∈ X((T 1 k )∗ Q) es una simetría de Cartan infinitesimal
de un sistema hamiltoniano k-simpléctico ((T 1 k )∗ Q, ω A , H) entonces, para cada
X = (X1, . . . , Xk) ∈ X k H ((T 1 k )∗ Q), se tiene
k
A=1
LXA FA = 0 (en Up) ,
en donde las funciones F A , 1 ≤ A ≤ k se han definido en la Proposición 2.11.
Demostración:
Es consecuencia directa del Teorema de Noether 2.13 y de la Proposición 2.2 .
Observación 2.16 En la Mecánica hamiltoniana Autónoma los teoremas 2.13 y
2.15 son equivalentes. En nuestro contexto esta equivalencia no se verifica ya que,
como ya se comentó en la observación 2.3, no toda solución de las ecuaciones de
campo de Hamilton-De Donder-Weyl (1.13) es un sección integral de algún campo
de k-vectores solución de la ecuación geométrica de Hamilton (1.15).
2.2. Caso lagrangiano.
2.2.1. Simetrías y leyes de conservación
Cuando consideramos un lagrangiano regular, el sistema lagrangiano k-simpléctico
(T 1 k Q, ωA L , EL) puede considerarse como un sistema hamiltoniano k-simpléctico
con función hamiltoniana H = EL. Naturalmente todas las definiciones y resultados
de la sección anterior son aplicables en este caso. En particular, podemos definir:
Definición 2.17 Una aplicación F = (F 1 , . . . , F k ): T 1 k Q → Rk es una ley de conservación
(o una cantidad conservada) para las ecuaciones de Euler-Lagrange
(1.44) si la divergencia de
F ◦ φ (1) = (F 1 ◦ φ (1) , . . . , F k ◦ φ (1) ): U0 ⊆ R k → R k
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