Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

7.2.2 Formalismo hamiltoniano. 285
Al igual que ocurre cuando consideramos la conexión trivial, la existencia y
unicidad de esta función está asegurada, (al menos localmente), si asumimos que el
lagrangiano L es hiperregular (o regular).
Un sencillo cálculo usando las expresiones locales (6.24) y (7.23) de F L y de las
1-formas η1 ∇ , . . . , ηk ∇ nos permite escribir
H ∇ = H −
k
A=1
η A ∇( ∂
) . (7.26)
∂tA Ahora, consideramos el formalismo hamiltoniano k-cosimpléctico en R k ×(T 1 k )∗ Q
con la estructura k-cosimpléctica
y la función hamiltoniana H ∇ .
(dt A , ω A ∇, V )
Las correspondientes ecuaciones geométricas de Hamilton (6.9) para esta estructura
k-cosimpléctica y este hamiltoniano son
dt A (XB) = δ A B ,
k
A=1
ıXA ωA ∇ = dH ∇ −
k
A=1
R ∇ A(H ∇ )dt A ,
(7.27)
donde R∇ A son los campos de vectores de Reeb asociados a la variedad k-cosimpléctica
(Rk × (T 1 k )∗Q, dtA , ωA ∇ , V ), esto es, los campos de vectores caracterizados por las
ecuaciones
ı R ∇ A dt B = δ B A , ı R ∇ A ω B ∇ = 0 . (7.28)
Consideremos un sistema local de coordenadas (tA , qi , pA i ) en Rk × T 1 k Q tal que
R ∇ A = (R ∇ A)B
∂
∂tB + (R∇ i ∂
A)
∂qi + (R∇ A) B i
para ciertas funciones (R ∇ A )B, (R ∇ A )i , (R ∇ A )B i ∈ C ∞ (R k × (T 1 k )∗ Q) entonces, las ecuaciones
(7.28) que definen los campos de Reeb son equivalentes a las ecuaciones
∂
∂p B i
(R ∇ A) B = δ B A , (R ∇ A) i = Γ i A , (R ∇ A) B i = −p B j
∂Γ j
A
∂q i
(7.29)