Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

4.2.2 La aplicación V : T (T 1 k Q) → T 1 k Q ×Q T 1 k Q. 125
tal que
V ◦ i = id T 1 k Q×QT 1 k Q y V ◦ H = 0.
La aplicación V que verifica las condiciones anteriores es la retracción asociada
con i, complementaria a H. Entonces la sucesión
V
0 T 1 k Q ×Q T 1 k Q
T (T 1 k Q)
T 1 k Q ×Q
T Q
0
es también una sucesión exacta corta.
Proposición 4.11 En un sistema local de coordenadas la aplicación
está definida por:
donde vq ∈ T 1 k Q.
Demostración:
∂
V
∂qi
vq
∂
V
∂v j
A
vq
La aplicación V verifica:
Entonces
0 = (V ◦ H)(vq, ∂
∂qi
∂
) = V
q ∂qi
por tanto
H
V : T (T 1 k Q) −→ T 1 k Q ×Q T 1 k Q
= N j
Ai (vq)
⎛
A
⎝vq,
∂
0, . . . ,
∂qj ⎞
, . . . , 0⎠
,
q
=
⎛
A
⎝vq,
∂
0, . . . ,
∂qi ⎞
, . . . , 0⎠
,
q
V ◦ i = id T 1 k Q×QT 1 k Q y V ◦ H = 0.
V( ∂
∂qi
vq
vq
− N j
Ai
) = N j
Ai
∂
∂v j
A
vq
V( ∂
∂v j
A
= V( ∂
∂qi
vq
vq
) − N j
Ai
V( ∂
∂v j
A
(4.12)
vq
) . (4.13)
)