Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

266 7 Formalismo k-cosimpléctico y conexiones no lineales en R k × Q → R k .
7.1. Conexiones y energía lagrangiana.
En esta sección vamos a recordar el concepto de conexión de Erhesmann en el
fibrado trivial π R k: R k × Q → R k .
Además definiremos una función energía E∇ L : Rk × T 1 k Q → R asociada a cada
lagrangiano L : Rk × T 1 k Q → R y a cada conexión ∇ en Rk × Q → Rk .
7.1.1. Conexiones en ˆπ R k : R k × Q → R k .
En esta subsección recordaremos el concepto de conexión no lineal en el fibrado
trivial R k × Q → R k , así como los conceptos y propiedades relacionados con el
mismo. Los contenidos de esa sección siguen el trabajo de A. Echeverría-Enríquez,
M.C. Muñoz-Lecanda y N. Román-Roy [34] y el libro de Saunders [125].
Consideremos el fibrado trivial
ˆπ R k : R k × Q → R k ,
donde Q denota una variedad diferenciable de dimensión n. Como se ha comentado
en el capítulo previo, el fibrado de 1-jets de secciones de ˆπ R k es
(ˆπ R k)1,0 : J 1 ˆπ R k ≡ R k × T 1 k Q → R k × Q .
Con el fin de introducir conexiones, se debe estudiar el fibrado tangente de R k ×Q.
Obsérvese que existe una identificación natural entre T (R k × Q) y T R k × T Q dada
por
T (R k × Q) → T R k × T Q
u(t,q)
donde ˆπQ : R k × Q → Q es la proyección natural.
donde
↦→
(ˆπ Rk)∗(t, q)(u(t,q)), (ˆπQ)∗(t, q)(u(t,q))
Además T R k × T Q también se puede identificar con
(ˆπQ) ∗ T Q ⊕ (ˆπ R k) ∗ T R k
(ˆπQ) ∗ T Q ≡ R k × T Q → R k × Q y (ˆπ R k) ∗ T R k ≡ T R k × Q → R k × Q