Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

En efecto, consideramos la siguiente cadena de igualdades,
k ∂(F L ◦ Φ ◦ φ
A=1
(1) ) i A
∂tA
+ ∂2L ∂v j
B∂vi
∂Φ
Φ(t)
A
j
B
∂qk
∂
=
2L
+
t
= ∂2 L
φ (1) (t)
∂qj ∂vi ∂Φ
A Φ(t)
j
∂qk
φ (1) (t)
∂ 2 L
∂Φj
∂qj ∂vi
A Φ(t) ∂vk
C
φ (1) (t)
∂qj ∂vi
A Φ(t)
∂φk ∂tA
t
+ ∂Φj
+ ∂2 L
∂v j
B ∂vi A
+ ∂2 L
∂v j
B ∂vi A
j ∂Φ
∂qk
φ (1) (t)
B
∂vk ∂
C
φ (1) (t)
2φk ∂tA∂tB
t
Φ(t)
∂Φ j
B
∂qk
∂Φ j
φ (1) (t)
B
Φ(t) ∂vk
C
φ (1) (t)
y multiplicando esta última expresión por ∂Φi
=
=
−
=
k ∂(F L ◦ Φ ◦ φ
A=1
(1) ) i A
∂tA
∂Φi
∂2L
∂qj ∂vi ∂Φ
A Φ(t)
j
∂qk
φ (1) (t)
∂ 2 L
∂Φj
t ∂vl
D
φ (1) (t)
∂qj ∂vi
A Φ(t) ∂vl
D
φ (1) (t)
∂2L ∂vl D∂vk
∂H
A
φ (1) (t) ∂pA
k
F L(φ (1) (t))
− ∂H
∂p A i
∂ 2 L
∂Φj
+ ∂2 L
∂v j
B ∂vi A
+ ∂2 L
∂v j
B ∂vi A
+ ∂2 L
∂vl
D
φ (1) (t)
Φ(t)
∂Φ j
B
∂qk
∂Φ j
∂φk ∂tA
+
t
∂Φj
∂H
φ (1) (t)
D
Φ(t) ∂vi
A φ (1) (t)
∂Φ j
∂qj ∂vi
A Φ(t) ∂vl
D
φ (1) (t) ∂v j
B∂vi B
Φ(t) ∂v A
l
D
φ (1) (t)
) −
F L(Φ(φ (1) (t)))
∂H
∂qj
∂Φ
F L(Φ(φ (1) (t)))
j
∂vl
.
D
φ (1) (t)
Multiplicando esta última identidad por ∂(Φ−1 ) l D
∂q m
∂p A k
∂vk ∂
C
φ (1) (t)
2φk ∂tA∂tB
t
F L(φ (1) (t))
∂2φk ∂tA∂tB
t
llegamos a
Φ(t)
∂Φi
.
363
∂vl ∂H
D
φ (1) (t) ∂pA
k
F L(φ (1) (t))
∂Φi ∂qk
( ∂Φi
∂qk
∂H
φ (1) (t) ∂pA
k
F L(φ (1) (t))
∂H
φ (1) (t) ∂pA
k
F L(φ (1) (t))
, de (A.20) y (A.22) dedu-