Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

4.4 Linealización de campos de vectores de segundo orden. 135
(2) Consideremos ahora una conexión no-lineal N definida a partir de una aplicación
horizontal H, el sopde ξH asociado a esta conexión y la conexión NξH
asociada al sopde ξH.
Si denotamos por N j
B i , 1 ≤ i, j ≤ n, 1 ≤ B ≤ k las componentes de la
conexión no-lineal N, entonces de (4.21) y (4.24) obtenemos que
(NξH )j
1
B i = −
k + 1
Entonces N = NξH
k
∂(−v
A=1
l A B l )
∂vi A
si, y sólo si,
N j
B i = vl A
∂N j
Bl
∂v i A
N j
= k j 1
NB i +
k + 1 k + 1 vl ∂N
A
j
B l
∂vi .
A
, 1 ≤ i, j ≤ n, 1 ≤ B ≤ k .
4.4. Linealización de campos de vectores de segundo
orden.
En esta sección vamos a estudiar un tipo particular de sopde’s así como ejemplos
de sopde’s linealizables para la ecuación del calor.
4.4.1. Linealización de sopde’s.
Definición 4.20 Un sopde ξ = (ξ1, . . . , ξk) en T 1 k
cada punto de T 1 k
entorno tal que
con (A j
AB )C
m
, (Bj
Q se dice linealizable si, para
Q, existe un entorno de ese punto y una carta definida en ese
AB ) m
(ξA) j
B = (Aj AB )C
m vm C + (B j
AB ) m qm + C j
AB
, Cj
AB
∈ R.
(4.25)
Proposición 4.21 Si ξ es linealizable entonces la curvatura de la conexión no-lineal
Hξ se anula, y por tanto la conexión es integrable.