Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

A continuación multiplicamos la expresión anterior por la matriz ∂(Φ−1 ) i
así de (A.20) y (A.21) obtenemos
2 ∂ L
0 = {−
−
−
−
−
∂ 2 L
∂Φk ∂qj
∂Φk ∂v j
B
∂Φk
l ∂Φ
∂v s D
∂qk∂v l +
A
Φ(t) φ (1) (t)
∂2L ∂vk C∂vl ∂Φ
A
Φ(t)
k C
∂qj
φ (1) (t) ∂vi ∂φ
E φ (1) (t)
j
∂tA
t
∂qk∂v l
+
A
Φ(t) φ (1) (t)
∂2L ∂vk C∂vl
∂Φ
A
Φ(t)
k C
∂v j
l
∂Φ
φ (1) (t) ∂v B
i
∂
E φ (1) (t)
2φj ∂tA∂tB
t
∂ 2 L
∂Φ l
∂q j
∂qk∂v l
A
Φ(t) ∂vi
E φ (1) (t) ∂vk C∂vl ∂Φ
A
Φ(t)
k C
∂vi
E φ (1) (t)
∂φ
φ (1) (t)
j
∂tA
∂
t
φ (1) (t)
2φj ∂tA∂tB
)
t
∂H
∂qj
− ∂Φl
∂v j
B
∂Φj
+ ∂2 L
} ∂(Φ−1 ) i
E
F L(Φ(φ (1) (t))) ∂vi
E φ (1) (t) ∂vs D
+ δk s δC ∂
D
2L ∂vk C∂vl
(
A
Φ(t)
∂H
∂pA
l
F L(Φ(φ (1) (t)))
= { ∂2 L
−
−
+
∂vi E∂vj
φ (1) (t)
A
∂ 2 L
∂φj ∂tA
∂Φk
t
∂qk∂v l
A
Φ(t) ∂vi
E φ (1) (t)
∂H
∂qj
∂Φj
+ ∂2 L
F L(Φ(φ (1) (t))) ∂vi
E φ (1) (t)
∂2L ∂vs D∂vl
(
A
Φ(t)
∂H
∂pA
l
F L(Φ(φ (1) (t)))
= 0 ∂(Φ−1 ) i E
∂vs
D Φ(φ (1) (t))
∂
+
2L ∂vs D∂vl
(
A
Φ(t)
∂H
∂pA
l
F L(Φ(φ (1) (t)))
∂
=
2L ∂vs D∂vl
(
A
Φ(t)
∂H
∂pA
l
F L(Φ(φ (1) (t)))
Φ(φ (1) (t))
− ∂Φl
∂q j
φ (1) (t)
∂vk C∂vl ∂Φ
A
Φ(t)
k C
∂vi
E φ (1) (t)
} ∂(Φ−1 ) i
E
∂v s D
− ∂Φl
∂q j
− ∂Φl
∂q j
− ∂Φl
∂q j
Φ(φ (1) (t))
φ (1) (t)
φ (1) (t)
φ (1) (t)
∂φj ∂tA
t
∂φj ∂tA
t
∂φj ∂tA
t
( ∂H
∂p A l
∂φj ∂tA
t
∂H
∂p A l
− ∂Φl
∂v j
B
− ∂Φl
∂v j
− ∂Φl
∂v j
B
F L(Φ(φ (1) (t)))
− ∂Φl
∂v j
B
Φ(t)
361
∂
φ (1) (t)
2φj ∂tA∂tB
t
F L(Φ(φ (1) (t)))
)
∂
φ (1) (t)
2φj ∂tA∂tB
t
)
∂
φ (1) (t)
B
2φj ∂tA∂tB
t
∂
φ (1) (t)
2φj ∂tA∂tB
t
donde comparando el primer y el último término de la cadena de igualdades ante-
)
y
)