Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

7.4.3 Equivalencia entre los principios variacionales. 303
Observación 7.27 Los resultados de A. Echeverría Enríquez, Miguel Muñoz Lecanda
y Narciso Román Roy recogidos en [34] relativo a la Mecánica Autónoma
coinciden con los anteriores en el caso particular k = 1.
En lo que sigue demostraremos que ciertos resultados relativos a la función energía
E∇ L , demostrados para el caso k = 1, en [34] siguen siendo válidos para un k
arbitrario.
Lema 7.28 Sean ∇ una conexión en ˆπ Rk: Rk × Q → Rk , L : Rk × T 1 k Q → R un
lagrangiano, y X = (X1, . . . , Xk) un sopde en Rk × T 1 k Q. Si
XB(Γ i A) = XA(Γ i B),
∂L
XA = δ A ∂L
B ,
∂qi (7.49)
donde A, B = 1, . . . , k, i = 1, . . . , n; entonces
Demostración:
∂v i B
XA(E ∇ L ) = − Y 1 A(L) , A = 1, . . . , k .
La prueba de esta afirmación se realizará mediante un cálculo en coordenadas
locales. Para ello haremos uso de las expresiones locales (6.29), (7.18) y (7.19) de
un sopde, Y 1
A y E∇ L .
=
+
=
+
XA(E∇ L ) + Y 1 A (L)
i ∂ΓA ∂tB − ∂ΓiB ∂tA
∂L
∂vi =
B
2 ∂ L ∂2L ∂t A ∂v k C
( ∂
∂t
2 ∂ L
+ vj
B B
∂t A ∂v k C
+ v i A
∂qi∂v k C
v j
B
+ (XA) j
B
∂
∂qj )(ΓiA) − ( ∂
∂t
∂ 2 L
+ v i A
∂qi∂v k C
∂Γi A
− vj
∂qj A
+ vj
A A
+ (XA) j
B
∂Γi B
∂qj
∂L
∂vi B
− δ A ∂L
C
∂qk
(vk C − ΓkC )
∂
∂qj )(Γi
∂L
B)
∂vi B
− δ A ∂L
C
∂qk
(vk C − ΓkC )
∂ 2 L
∂v j
B ∂vk C
∂ 2 L
∂v j
B ∂vk C
⋄