Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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338 8 Formalismo k-cosimpléctico en algebroides de Lie. A lo largo de esta sección denotaremos la diferencial exterior d TE (R k × k ⊕E ∗ ) simplemente por d. Observación 8.22 En el caso particular E = T Q la variedad T E (R k × k ⊕ E ∗ ) se identifica con T (R k × (T 1 k )∗ Q). En efecto, en este caso consideramos la prolongación de T Q sobre Así de (8.2) se tiene (πQ)1 : R k × (T 1 k ) ∗ Q → Q. T T Q (R k × k ⊕ T ∗ Q) = T T Q (R k × (T 1 k )∗ Q) = {(uq, v(t,w ∗ q)) ∈ T Q × T (R k × (T 1 k )∗ Q)/uq = T (πQ)1(vw ∗ q )} = {(T (πQ)1(v(t,w ∗ q )), v(t,w ∗ q )) ∈ T Q × T (R k × (T 1 k )∗ Q)/ (t, w ∗ q) ∈ R k × (T 1 k )∗ Q} ≡ {v(t,w ∗ q ) ∈ T (R k × (T 1 k )∗ Q)/ (t, w ∗ q) ∈ R k × (T 1 k )∗ Q} ≡ T (R k × (T 1 k )∗ Q) . C. El fibrado vectorial T E (R k × k ⊕ E ∗ )⊕ k . . . ⊕T E (R k × k ⊕ E ∗ ). En la descripción de la formulación hamiltoniana k-cosimpléctica en algebroides de Lie tienen especial interés los campos de k-vectores en R k × (T 1 k )∗ Q, esto es, las secciones de τ k R k ×(T 1 k )∗ Q : T 1 k (R k × (T 1 k ) ∗ Q) → R k × (T 1 k ) ∗ Q . De modo análogo a lo que ocurría en el formalismo k-simpléctico en algebroides de Lie el fibrado T E (R k × k ⊕ E ∗ )⊕ k . . . ⊕T E (R k × k ⊕ E ∗ ) jugará el papel de T 1 k (R k × (T 1 k ) ∗ Q) = T (R k × (T 1 k ) ∗ Q)⊕ k . . . ⊕T (R k × (T 1 k ) ∗ Q) . Denotaremos por (TE ) 1 k (Rk × k ⊕ E ∗ ) la suma de Whitney sobre Rk × k ⊕ E ∗ de k copias del algebroide de Lie TE (Rk × k ⊕ E ∗ ), esto es, (T E ) 1 k(R k × k ⊕ E ∗ ): = T E (R k × k ⊕ E ∗ )⊕ k . . . ⊕T E (R k × k ⊕ E ∗ ) , ⋄
8.2.1 Elementos geométricos. 339 y consideramos la proyección canónica τ k Rk × k ⊕E ∗ : (T E ) 1 k(R k × k ⊕ E ∗ ) → R k × k ⊕ E ∗ . En la descripción hamiltoniana k-cosimpléctica en algebroides de lie nos interesará considerar secciones de este fibrado. Además a partir del ancla p ∗ ρ : T E (R k × k ⊕ E ∗ ) → T (R k × k ⊕ E ∗ ) podemos definir un campo de k-vectores en Rk × k ⊕ E ∗ asociado a cada sección de , tal como veremos en el resultado siguiente: τ k R k × k ⊕E ∗ Proposición 8.23 Sea ξ = (ξ1, . . . , ξk): Rk × k ⊕ E ∗ → (TE ) 1 k (Rk × k ⊕ E ∗ ) una sección de τ k . Entonces R k × k ⊕E ∗ p ∗ p ∗ (ρ (ξ1), . . . , ρ (ξk)): R k × k ⊕ E ∗ → T 1 k (R k × k ⊕ E ∗ ) es un campo de k-vectores en R k × k ⊕ E ∗ . Recordemos que la aplicación p ∗ ρ : T E (R k × k ⊕ E ∗ ) ≡ E ×T Q T (R k × k ⊕ E ∗ ) → T (R k × k ⊕ E ∗ ) denota el ancla del algebroide T E (R k × k ⊕ E ∗ ). Demostración: Es una consecuencia directa del Lema 5.7 y del hecho de que cada sección ξ induce una familia de k secciones de TE (Rk × k ⊕ E ∗ ). Cada una de estas secciones se obtiene proyectando sobre la A-ésima copia de TE (Rk × k ⊕ E ∗ ) en (TE ) 1 k (Rk × k ⊕ E ∗ ). Los campos de k-vectores que se obtienen a partir de esta última proposición van a jugar un papel fundamental en la descripción del formalismo hamiltoniano k-cosimpléctico en algebroides de Lie.
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Bibliografía 389 [124] D. J. Saund
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