Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

1.1.3 Formalismo hamiltoniano. Ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl. 13
Observación 1.18 El motivo por el que se han introducido los campos de kvectores
y las correspondientes secciones integrales es el siguiente: en el formalismo
k-simpléctico las soluciones de las ecuaciones de campo se obtienen como secciones
integrales de ciertos campos de k-vectores en M.
1.1.3. Formalismo hamiltoniano. Ecuaciones de Hamilton-
De Donder-Weyl.
En esta sección vamos a describir los sistemas hamiltonianos sobre variedades
k-simplécticas, para ello vamos a deducir las ecuaciones de campo hamiltonianas a
partir de un principio variacional para después recordar la descripción geométrica
de estas ecuaciones. Comenzaremos la subsección describiendo un caso particular de
sistema hamiltoniano que se corresponde con las ecuaciones de la electrostática.
A. Ejemplo: ecuaciones de la electrostática.
Sobre el espacio R 3 con coordenadas (t 1 , t 2 , t 3 ) consideramos una métrica de
Riemann g con componentes gAB(t), 1 ≤ A, B ≤ 3.
Las ecuaciones locales de la electrostática son (véase [31, 62]):
3
A=1
∂ψ 1
A = √
∂t g
3
B=1
∂ψ A
∂t A = −4π√ g r,
gABψ B ,
donde ψ : R 3 → R es un campo escalar que da el potencial eléctrico sobre R 3 ,
P = (ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 ) : R 3 → R 3 , es un campo vectorial que establece el campo eléctrico
sobre R 3 , √ g = √ det gAB y r = r(t) es la función escalar sobre R 3 determinada por:
pQ(t) = √ g r(t)dt 1 ∧ dt 2 ∧ dt 3 ,
siendo pQ(t) la 3-forma en R 3 que determina la densidad de carga, y que es un dato
conocido.
⋄