Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

250 6 Formulación k-cosimpléctica de las Teorías Clásicas de Campos
El resultado enunciado en esta proposición es una consecuencia directa de las
expresiones locales (6.16), (6.17), (6.19), (6.29) y (6.30) de ∆A, S A , S A , del sopde
X y de un campo de k-vectores en R k × T 1 k Q.
A continuación vamos a caracterizar las secciones integrales de los sopde’s.
Comenzamos introduciendo la siguiente definición
Definición 6.23 Sea φ : R k → Q una aplicación, definimos la primera prolongación
φ [1] de φ como la aplicación
φ [1] : Rk −→ Rk × T 1 k Q
t −→ (t, j1
0φt) ≡ t, φ∗(t)( ∂
∂t1
), . . . , φ∗(t)(
t
∂
∂tk
donde φt(s) = φ(t + s). En coordenadas locales
φ [1] (t 1 , . . . , t k ) = (t 1 , . . . , t k , φ i (t 1 , . . . , t k ), ∂φi
∂t A (t1 , . . . , t k )) . (6.31)
Observación 6.24 Sea (X1, . . . , Xk) un sopde. De (6.29) obtenemos: una aplicación
ψ : Rk → Rk × T 1 k Q, dada por ψ(t) = (ψB(t), ψi (t), ψi A (t)), es una sección
integral de (X1, . . . , Xk) si y sólo si
∂ψB
∂t A
t
= δ B A,
∂ψ i
∂t A
t
= ψ i A(t),
∂ 2 ψ i
∂t A ∂t B
t
t
)
= (XA) i B(ψ(t)). (6.32)
Entonces si (X1, . . . , Xk) es integrable, de (6.32) deducimos que (XA) i B = (XB) i A .
Observemos que la aplicación
(id R k, pr2 ◦ ψ) : R k → R k × T 1 k Q
t → (t, ψ i (t), ψ i A (t))
coincide con la primera prolongación φ [1] de la aplicación
esto es φ(t) = (ψ i (t)).
φ = pQ ◦ ψ : R k ψ → R k × T 1 k Q pQ
→ Q,