Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

38 1 Formulación k-simpléctica de las Teorías Clásicas de Campos
(1) Si L es regular entonces XL = (X1 L , . . . , Xk L ) es un sopde.
Además si ψ : Rk → T 1 k Q es un sección integral de XL, entonces la aplicación
φ : R k
ψ
1 Tk Q τ k Q
Q
es una solución de las ecuaciones de Euler-Lagrange (1.44).
(2) Si XL = (X1 L , . . . , Xk L ) es integrable y φ(1) : Rk → T 1 k Q es una sección integral
de X entonces φ : Rk → Q es una solución de las ecuaciones de Euler-Lagrange
(1.44).
Demostración:
(1) es una consecuencia inmediata de (1.47) y la Proposición 1.42.
(2) Sea φ (1) una sección integral de XL.
De la primera ecuación de (1.46) y de la expresión local (1.9) de φ (1) se deduce
que φ es solución de las ecuaciones de Euler-Lagrange (1.44).
Observación 1.49 Si el lagrangiano L : T 1 k Q → R es regular, entonces (ωA L , V )
es una estructura k-simpléctica en T 1 k Q. Por este motivo la ecuación (1.45) puede
considerarse como un caso particular de (1.15) para esta estructura k-simpléctica y
con H = EL.
De modo análogo a lo que hicimos en la definición 1.22, a la familia (T 1 k Q, ωA L , EL)
le llamaremos sistema lagrangiano k-simpléctico.
Observación 1.50 Si reescribimos la ecuación (1.45) para el caso k = 1, obtenemos
ıXωL = dEL
que es la ecuación de la formulación geométrica de la Mecánica lagrangiana.
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