Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

2.2.2 Simetrías de Cartan y Teorema de Noether. 59
(2) Una simetría de Cartan (o Noether) infinitesimal del sistema lagrangiano
k-simpléctico (T 1 k Q, ωA L , EL) es un campo de vectores Y ∈ X(T 1 k Q) verificando:
a) LY ωA L = 0, para A = 1, . . . , k.
b) LY EL = 0.
En el caso de que una simetría de Cartan infinitesimal Y sea el levantamiento
completo a T 1 k Q de algún campo de vectores Z en Q, esto es Y = ZC , entonces
se dice simetría de Cartan infinitesimal natural.
Observación 2.22 Las simetrías de Cartan (infinitesimales) naturales serán utilizadas
en la sección 2.2.4 de este capítulo en donde veremos que si (T 1 k f)∗ L = L
(resp. Z C (L) = 0) entonces Φ (resp. Z C ) es una simetría de Cartan natural (resp.
simetría infinitesimal).
La siguiente proposición es fundamental para poder asociar leyes de conservación
a las simetrías de Cartan, enunciando de este modo un teorema de tipo Noether
dentro de la formulación lagrangiana k-simpléctica de las teorías clásicas de campo.
Proposición 2.23 Sea Y ∈ X(T 1 k Q) una simetría de Cartan infinitesimal de un
sistema lagrangiano k-simpléctico (T 1 k Q, ωA L , EL). Entonces, para cada p ∈ (T 1 k )Q,
existe un entorno abierto Up del punto p en el que se verifica lo siguiente:
(1) Existen k funciones F A ∈ C ∞ (Up), 1 ≤ A ≤ k, únicas salvo constantes, tales
que
ıY ω A L = dF A , 1 ≤ A ≤ k , (en Up) . (2.25)
(2) Existen k funciones ζ A ∈ C ∞ (Up), 1 ≤ A ≤ k, verificando
LY θ A L = dζ A , 1 ≤ A ≤ k, (en Up) .
Además estas funciones están relacionadas con las funciones F 1 , . . . , F k por la
familia de identidades
F A = ıY θ A L − ζ A , 1 ≤ A ≤ k, (salvo constantes, en Up) . (2.26)
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