Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

168 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
Con la finalidad de introducir el concepto de sopde en algebroides de Lie vamos
a recordar el concepto de sopde en T 1 k Q, (para más detalles véase la sección 1.2.3.)
y
Un sopde en T 1 k Q es una sección de las aplicaciones
τ k
T 1 k Q: T 1 k (T 1 k Q) → T 1 k Q
T 1 k (τ k Q ): T 1 k (T 1 k Q) → T 1 k Q
(v1wq , . . . , vkwq ) ↦→ wq
(v1wq , . . . , vkwq ) ↦→ (Twq(τ k Q )(v1wq ), . . . , Twq(τ k ,
)(vkwq Q ))
donde τ k Q : T 1 k Q → Q denota la proyección canónica del fibrado de las k1 -velocidades.
Volviendo al contexto de algebroides de Lie, tenemos que definir dos aplicaciones
que se correspondan con las dos anteriores del caso estándar. Sabemos que:
k
⊕ E juega el papel de T 1 k Q,
TE ( k
⊕ E) el de T (T 1 k Q) y
T 1 k (T 1 k Q) es la suma de Whitney de k copias de T (T 1 k Q).
Entonces es natural pensar que la suma de Whitney de k copias de TE ( k
⊕ E), esto
es,
T E ( k
⊕ E)⊕ k . . . ⊕T E ( k
⊕ E)
jugará el papel de
T 1 k (T 1 k Q) = T (T 1 k Q)⊕ k . . . ⊕T (T 1 k Q) .
La pregunta que surge ahora de modo natural es: ¿qué aplicaciones se corresponden,
en el contexto de los algebroides de Lie, con τ k
T 1 k Q y T 1 k (τ k Q )?.
A lo largo de los siguientes apartados daremos la respuesta a esta pregunta.
A. La k-prolongación de E sobre τ: k
⊕ E → Q.
Sea E un algebroide de Lie sobre una variedad diferenciable Q de dimensión n
y τ k
⊕E : TE ( k
⊕ E) → k
⊕ E la prolongación de E mediante τ: k
⊕ E → Q.