Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

3.1.2 El fibrado de las formas de ligadura. 79
Además, la condición: τ k Q |M es un fibrado vectorial, implica que la matriz de
orden m × nk ⎛
⎜
⎝
∂Φ1
∂v 1 1
∂Φm
∂v 1 1
wq
.
wq
. . .
∂Φ1
∂v k n
. . . ∂Φm
∂v k n
wq
.
tiene rango máximo m en cada punto wq ∈ M ∩ U.
3.1.2. El fibrado de las formas de ligadura.
En esta subsección introduciremos un fibrado F , de rango m, que jugará un papel
similar al fibrado de las fuerzas de reacción de la Mecánica no-holonómica.
Definimos
wq
⎞
⎟
⎠
F ⊂ {η
/ η ∈ Λ
M
1 (T 1 k Q, R k )}
como un subfibrado del fibrado de 1-formas en T 1 k Q que son Rk -valuadas. Imponemos
a este subfibrado F las siguientes condiciones, que son únicamente de naturaleza
técnica:
(1) F tiene rango m, (obsérvese que m es la codimensión de la subvariedad de
ligaduras).
(2) Los elementos de F son 1-formas semibásicas, esto es, si η = (η 1 , . . . , η k ) es un
elemento de F entonces η se anula sobre los campos de vectores τ k Q -verticales.
El fibrado F que acabamos de definir se llama fibrado de las formas de
ligadura.
Consideremos un sistema local de coordenadas (qi , vi A )1≤i≤n, 1≤A≤k en T 1 k Q. Podemos
encontrar un recubrimiento abierto U de M tal que en cada conjunto abierto
U ∈ U, F está generado por m 1-formas, η1, . . . , ηm, Rk-valuadas e independentes.
Estas 1-formas se escriben localmente como sigue:
ηα = (η 1 α, . . . , η k α) = (η 1 α idq i , . . . , η k α idq i ) , 1 ≤ α ≤ m (3.2)
donde η A α i son funciones diferenciables definidas en M ⊂ T 1 k Q. La independencia de
las formas ηα implica que la m × kn-matriz cuyas entradas son las funciones η A α i ,
tiene rango constante maximo m.