Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

2.1.2 Simetrías de Cartan y Teorema de Noether. 51
(2) Existen k funciones ζ A ∈ C ∞ (Up), verificando LY θ A = dζ A , en Up; y entonces
Demostración:
F A = ıY θ A − ζ A , 1 ≤ A ≤ k , (salvo constantes, en Up) . (2.11)
(1) Es una consecuencia del Lema de Poincaré y la condición
0 = LY ω A = ıY dω A + d ıY ω A = d ıY ω A .
(2) Teniendo en cuenta que ω A = − dθ A , 1 ≤ A ≤ k se verifica
dLY θ A = LY dθ A = −LY ω A = 0, 1 ≤ A ≤ k
y por tanto, para cada A, LY θ A es una forma cerrada. Así, por el Lema de
Poincaré, existen ζ A ∈ C ∞ (Up), verificando que LY θ A = dζ A , en Up. Además,
de la identidad (2.10) se obtiene que en Up se verifica
dζ A = LY θ A = d ıY θ A + ıY dθ A = d ıY θ A − ıY ω A = d{ıY θ A − F A }
lo que prueba la identidad (2.11).
Observación 2.12 En el caso particular de que una simetría de Cartan Φ (resp.
un simetría de Cartan infinitesimal Y ) verifique Φ ∗ θ A = θ A , 1 ≤ A ≤ k, (resp.
LY θ A = 0, 1 ≤ A ≤ k ) entonces las funciones ζ A de la proposición anterior son
constantes y por tanto
F A = −ıY θ A , 1 ≤ A ≤ k , salvo constantes.
Este tipo particular de simetría de Cartan se denomina estricta.
Finalmente, el Teorema de Noether Clásico de la Mecánica hamiltoniana
Autónoma (véase [93]) puede generalizarse al contexto k-simpléctico como sigue:
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