Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

188 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
una sección de τ k k
⊕E
tal que
donde d = d TE ( k
⊕E) . Entonces:
(1) ξ es un sopde.
k
A=1
ıξA ΩA L = dEL , (5.52)
(2) Sea Φ : R k → k
⊕ E la aplicación asociada con un morfismo de algebroides de
Lie entre T R k y E. Si Φ es una sección integral de ξ, entonces Φ satisface
las ecuaciones (5.49) esto es, es una solución de las ecuaciones de campo de
Euler-Lagrange escritas en términos de un algebroide de Lie E.
Demostración:
Escribiendo
ξA = ξ α AXα + (ξA) α CV C α , A = 1, . . . , k
y considerando la expresión local (5.45) de Ω A L obtenemos
k
A=1
ıξA ΩA L =
+ ξ α A
ξ β
A
ρ i α
∂2L ∂qi∂y β − ρ
A
i β
∂2L ∂y β
B∂yα V
A
β
B ,
∂2L ∂qi∂y α + C
A
γ
βα
∂L
∂y γ
A
− (ξA) β
B
∂2L ∂y β
B∂yα
X
A
α
De la expresión anterior y de la expresión de dEL, véase (5.51), se obtiene que
ξ es una solución de las ecuaciones (5.52) si, y sólo si, se verifican las siguientes
ecuaciones:
ξ β
A ρi ∂
α
2L ∂qi∂y β − ρ
A
i ∂
β
2L ∂qi∂y α + C
A
γ
βα
∂L
∂y γ
− (ξA)
A
β ∂
B
2L ∂y β
B∂yα A
ξ α A
∂2L ∂y β
B∂yα A
Si el lagrangiano L es regular, es decir, si la matriz
segunda ecuación obtenemos que
= ρ i α
y β
A
∂ 2 L
∂q i ∂y β
A
= yα ∂
A
2L ∂y β
B∂yα .
A
∂ 2 L
∂y α A ∂yβ
B
− ∂L
∂qi
,
es regular, de la
ξ α A = y α A , (5.53)