Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

1.2.4 Formalismo lagrangiano. Ecuaciones de Euler - Lagrange. 33
Si definimos
L(q, v1, v2) = 1
2 (σv2 1 − τv 2 2),
donde q representa la variable φ y vA representa la variable ∂φ/∂tA . Entonces
∂L
∂v1
= σv1 ,
∂L
∂v2
= −τv2 ,
∂L
∂q
Evaluando en φ (1) (t) = (φ(t), ∂φ
∂t1
,
t
∂φ
∂t2
) se obtiene
t
∂L
= σ
∂v1 φ (1) (t)
∂φ
∂t1
∂L
, = −τ
t ∂v2 φ (1) (t)
∂φ
∂t2
,
t
Por lo tanto se tiene
2 ∂
∂tA
∂L
∂vA
A=1
φ (1) (t)
= σ ∂2φ
∂(t1 ) 2
t
= 0 .
∂L
∂q
− τ ∂2 φ
∂(t2 ) 2
t
φ (1) (t)
así las ecuaciones del movimiento (1.41) se pueden escribir como sigue
2
A=1
∂
∂tA
∂L
∂vA
φ (1) (t)
= ∂L
∂q
φ (1) (t)
.
,
= 0 .
Así la ecuación de onda en dimensión 1, ecuación (1.41), es un ejemplo de las denominadas
ecuaciones de campo de Euler-Lagrange.
En general, consideremos un campo definido por una función φ : Rk → Q, cuya
expresión local es φ(t1 , . . . , tk ) = (φ1 (t1 , . . . , tk ), . . . , φk (t1 , . . . , tk )). Una función
lagrangiana L es una función R-valuada L(φi (t), ∂φi /∂tA (t)) que depende de las
variables-componentes del campo qi = φi y de las derivadas parciales del campo
∂φi /∂tA (t). Por tanto podemos considerar la función L como una función definida
en T 1 k Q y así L : T 1 k Q → R.
Las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange para una función lagrangiana L con
solución φ(t) = (φ i (t 1 , . . . , t k )) es el sistema de ecuaciones en derivadas parciales de
segundo orden dado por
k
2 ∂ L
A=1
∂qj ∂vi
A φ (1) (t)
∂φj ∂tA
t
+ ∂2 L
∂v j
B ∂vi A
∂
φ (1) (t)
2φj ∂tA∂tB
t
= ∂L
∂qi
φ (1) (t)
,