Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

3.3 La ecuación momento no-holonómica 93
La importancia de la aplicación momento no-holonómica se encuentra en la ecuación
momento no-holonómica, que introduciremos a continuación.
Definición 3.14
(1) Una simetría lagrangiana no-holonómica es una sección ξ : Q → gF de
gF tal que ξC Q (L) = 0.
(2) Una simetría no-holonómica horizontal es una sección constante de g F
que es una simetría lagrangiana no-holonómica.
Teorema 3.15 Si φ : U0 ⊂ R k → Q es una solución de las ecuaciones de campo
lagrangianas no-holonómicas (3.7), entonces para cualquier simetría lagrangiana noholonómica
ξ las componentes (J nh ) A ξ (A = 1, . . . , k), de la aplicación momento
asociada a ξ, verifican la siguiente ecuación momento no-holonómica:
k
A=1
Demostración:
∂
∂tA
(J nh ) A ξ (φ (1)
(t)) =
k
ı
A=1
( ξ◦φ)∗(t)
⎛
⎝ ∂
∂tA
⎞
⎠
t
θ A L(φ (1) (t)) .
Puesto que ξ : Q → g F ⊂ g es una simetría lagrangiana no-holonómica se verifica
ξ C Q(L) = 0,
siendo ξQ el campo de vectores en Q definido en (3.16).
Consideremos un sistema local de coordenadas tal que
ξQ(φ(t)) := [
ξ(φ(t))]Q(φ(t)) = [ i ξ(φ(t))]Q (φ(t)) ∂
∂qi
Entonces por ser φ solución de las ecuaciones lagrangianas no-holonómicas (3.7)
y verificarse que ξC Q (L) = 0 obtenemos:
=
0 = [ ξ C Q (L)](φ(1) (t))
[ i ξ(φ(t))]Q (φ(t)) ∂L
∂qi
φ(t)
+ ∂φj
∂tA
t
∂ [ ξ(φ(t))]Q
∂q j
i
φ(t)
∂L
φ(t) ∂vi
A Φ (1) (t)
.