Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

7.4.3 Equivalencia entre los principios variacionales. 305
Observación 7.30 En el caso k = 1, si X es el campo de vectores dinámico en
R × T Q, entonces X es un sode y satisface trivialmente (7.49) del lema anterior
porque es solución de las ecuaciones dinámicas
ıXdt = 1, ıXΩL = 0.
Por lo tanto en este caso X(E ∇ L ) = − Y 1 (L), que es la afirmación del Teorema 1 en
[34].
Proposición 7.31 Sea L un lagrangiano regular tal que las componentes de la
transformación de Legendre [F L(t, wq)] A son distintas de cero en todo punto (t, wq) =
(t, v1q, . . . , vkq) ∈ R k × T 1 k Q.
Consideremos una aplicación f : Rk × T 1 k Q → Rk , entonces existe una conexión
∇ tal que la función energía E∇ L asociada a esta conexión y al lagrangiano L,
está definida por
k
E ∇ L =
donde fA = πA ◦ f : Rk × T 1 k Q f k πA
→ R → R.
A=1
Además, si L es regular y (X1, . . . , Xk) es una solución integrable de las ecuaciones
geométricas de Euler-Lagrange (6.43) que satisface las condiciones (7.49) y
k
XA( fB) = 0 entonces
B=1
Demostración:
fA ,
˜Y 1
A (L) = 0, A = 1, . . . , k.
Dada una aplicación f = (f1, . . . , fk) : R k × Q → R k , consideramos la conexión
∇, del fibrado trivial ˆπ R k : R k × Q → R k , definida por las relaciones
ı Θ Y 1
A
A L = −fA ,
donde Y1, . . . , Yk denotan los campos de vectores asociados a la conexión ∇ que han
sido introducidos en la definición 7.12.
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