Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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312 8 Formalismo k-cosimpléctico en algebroides de Lie. En efecto, consideramos la prolongación de T Q mediante pQ : Rk × T 1 k Q → Q. Así de (8.2) se tiene T T Q (R k × k ⊕ T Q) = T T Q (R k × T 1 k Q) = {(uq, v(t,wq)) ∈ T Q × T (R k × T 1 k Q)/uq = T pQ(vwq)} = {(T pQ(v(t,wq)), v(t,wq)) ∈ T Q × T (R k × T 1 k Q)/ (t, wq) ∈ R k × T 1 k Q} ≡ {v(t,wq) ∈ T (Rk × T 1 k Q)/ (t, wq) ∈ Rk × T 1 k Q} ≡ T (Rk × T 1 k Q) . C. Levantamiento vertical A-ésimo. (8.9) Definición 8.2 [24] Un elemento (aq, v(t,bq)) de la prolongación TE (Rk × k ⊕ E) ≡ E ×T Q T (Rk × k ⊕ E) se dice vertical si verifica donde τ1(aq, v(t,bq)) = 0q ∈ E , τ1 : T E (R k × k ⊕ E) ≡ E ×T Q T (R k × k ⊕ E) → E, (aq, v(t,bq)) ↦→ aq es la proyección sobre el primer factor E de T E (R k × k ⊕ E). La definición anterior implica que los elementos verticales de TE (Rk × k ⊕ E) son de la forma (0q, v(t,bq)) ∈ T E (R k × k ⊕ E) donde v(t,bq) ∈ T (R k × k ⊕ E) y (t, bq) ∈ R k × k ⊕ E. Ahora bien, teniendo en cuenta la definición (8.2), que determina los elementos de TE (Rk × k ⊕ E), la condición que de un elemento sea vertical significa que 0 = T(t,bq)p(v(t, bq)) , es decir el vector v(t,bq) es vertical respecto a la proyección p: R k × k ⊕ E → Q. ⋄
8.1.1 Elementos geométricos. 313 Por lo tanto, si consideramos un sistema de coordenadas locales adaptadas (t A , q i , y α A ) en Rk × k ⊕ E entonces se verifica que el vector v es de la forma: v(t,bq) = uA ∂ ∂tA ∂ + u (t,bq) α B ∂yα B (t,bq) ∈ T(t,bq)(R k × k ⊕ E) . Definición 8.3 Para cada A = 1, . . . , k consideramos la aplicación ξVA : E ×Q (Rk × k ⊕ E) −→ TE (Rk × k ⊕ E) ≡ E ×T Q T (Rk × k ⊕ E) (aq, t, bq) ↦−→ ξVA (aq, bq) = 0q, (aq) VA (8.10) (t,bq) donde aq ∈ E, (t, bq) = (t, b1q, . . . , bkq) ∈ R k × k ⊕ E y el vector (aq) VA (t,bq) ∈ T(t,bq)(R k × k ⊕ E) está definido por (aq) VA d (t,bq) f = ds s=0 para una función arbitraria f ∈ C ∞ (R k × k ⊕ E). f(t, b1q, . . . , bAq + saq, . . . , bkq) , 1 ≤ A ≤ k , (8.11) Denominamos a la aplicación ξ VA la aplicación levantamiento vertical Aésimo. De (8.11) deducimos que la expresión local de (aq) VA (t,bq) es (aq) VA (t,bq) = yα (aq) ∂ ∂yα A (t,bq) ∈ T(t,bq)(R k × k ⊕ E) , 1 ≤ A ≤ k (8.12) siendo (qi , yα ) un sistema local de coordenadas en E y (tA , qi , yα A ) el inducido en Rk × k ⊕ E. En (8.12) se observa que el vector (aq) VA (t,bq) ∈ T(t,bq)(R k × k ⊕ E) es vertical respecto a la aplicación p: Rk × k ⊕ E → Q. Esto nos garantiza que ξVA (aq, t, bq) es un elemento vertical de TE (Rk × k ⊕ E).
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A mi familia
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M ⊂ T 1 k Q Subvariedad de ligadu
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Bibliografía 385 [75] M. de León,
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Bibliografía 387 [100] E. Martíne
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Bibliografía 389 [124] D. J. Saund
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