Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.3.4 Ejemplos. 193
• Estándard:
Las soluciones de estas ecuaciones son aplicaciones
A=1
5.3.4. Ejemplos.
A. Modelo Poisson sigma.
∂v i A
Φ: R k → k
⊕ E
t ↦→ Φ(t) = (φ i (t), Φ α A (t))
k ∂
∂tA
∂L
=
Φ(t)
∂L
∂q i
Φ(t)
, v i A( Φ(t)) = ∂(qi ◦ Φ)
∂t A
.
t
Las soluciones de estas ecuaciones son aplicaciones
En este primer ejemplo se verifica
Φ: R k → T 1 k Q
t ↦→ Φ(t) = (φ i (t), Φ i A (t))
E = T ∗ Q y k = 2
siendo (Q, {·, ·}) una variedad de Poisson.
Consideremos una variedad de Poisson (Q, {·, ·}). Entonces, como hemos visto
en la sección 5.1.2, el fibrado cotangente T ∗ Q tiene una estructura de algebroide de
Lie, con ancla ρ y corchete determinados por
ρ(α) = Π(α) ,
[α, β ]T ∗ Q = L Π(α) β − L Π(β) α + d(Π(α, β)) ,
donde α, β ∈ Sec(T ∗Q), LX denota la derivada de Lie y Π : T ∗Q → T Q, se define
por
β( Π(α)) = Π(α, β), ∀α, β ∈ T ∗
q Q ,
es la aplicación inducida por el campo de bivectores Π asociado a la variedad de
Poisson.