Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

246 6 Formulación k-cosimpléctica de las Teorías Clásicas de Campos
(1) L es regular,
(2) F L es un difeomorfismo local,
(3) (dtA , ωA L , V ) es una estructura k-cosimpléctica en Rk × T 1 k Q donde
∂
V = ker T (ˆπ R k)1,0 =
∂v i , . . . ,
1
∂
∂v i k
i=1,...,n
es la distribución vertical del fibrado (ˆπ R k)1,0 : R k × T 1 k Q → Rk × Q.
6.2.2. Ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden.
En el desarrollo del formalismo lagrangiano k-cosimpléctico aparecen ciertas
ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden definidas en Rk × T 1 k Q. En esta
sección vamos a describir las ecuaciones a las que nos estamos refiriendo aquí.
Como veremos a continuación las ecuaciones en derivadas parciales de segundo
orden (que abreviaremos como sopde, del inglés, second order partial differential
equation) que aparecen en el formalismo lagrangiano k-cosimpléctico son un tipo
especial de campos de k-vectores en R k × T 1 k Q.
Recordemos que un campo de k-vectores en Rk × T 1 k Q es una sección del fibrado
de las k1-velocidades T 1 k (Rk × T 1 k Q). Antes de definir qué es un sopde vamos a
estudiar este fibrado y en especial cierta aplicación definida en él.
A. La variedad T 1 k (Rk × T 1 k Q).
En la sección 1.2.1. A. hemos definido el fibrado tangente de las k1-velocidades de una variedad diferenciable arbitraria. A lo largo de esta sección tendrá especial
interés considerar el fibrado tangente de las k1-velocidades de la variedad producto
Rk × T 1 k Q. Por este motivo dedicamos este apartado a describir con mayor detalle
esta variedad.
Consideramos el fibrado
τ k
R k ×T 1 k Q: T 1 k (R k × T 1 k Q) → R k × T 1 k Q .
Si (t, wq) un elemento arbitrario de Rk × T 1 k Q, entonces un elemento de la fibra
(T 1 k )(t,wq)(R k × T 1 k
Q) = (τ k
R k ×T 1 k Q)−1 (t, wq) es una k-tupla
v(t,wq) = (v1(t,wq), . . . , vk(t,wq))