Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

256 6 Formulación k-cosimpléctica de las Teorías Clásicas de Campos
Definición 6.28 Denotemos por Secc(R k , R k × Q) el conjunto de secciones de
con soporte compacto.
ˆπ R k : R k × Q → R k
Se define la acción integral asociada a un lagrangiano L: Rk × T 1 k Q → R como
sigue:
S : Secc(Rk , Rk × Q) → R
φ ↦→ S(φ) =
R k
(φ [1]
Q )∗ (Ld k t)
Lema 6.29 Sea φ ∈ Secc(R k , R k × Q). Si Z ∈ X(R k × Q) es ˆπ R k-vertical entonces
es una sección de ˆπ R k : R k × Q → R k .
Demostración:
φs: = τs ◦ φ
Puesto que Z es ˆπ R k-vertical tiene la siguiente expresión local
Z(t, q) = Z i (t, q) ∂
∂qi
(t,q)
y como τs es el grupo uniparamétrico asociado a Z se tiene
Z(t, q) = (τ(t,q))∗(0)( d
) =
ds 0
d(tA ◦ τ(t,q))
∂
ds 0 ∂tA
(t,q)
, (6.35)
+ d(qi ◦ τ(t,q))
∂
ds 0 ∂qi
Comparando (6.35) y la expresión anterior de Z(t, q) se sigue que
entonces
d(t A ◦ τ(t,q))
ds
0
= 0 ,
(t A ◦ τ(t,q))(s) = constante,
pero como τ(t,q)(0) = (t, q) obtenemos que
(t A ◦ τ(t,q))(0) = t A
(t,q)
.