Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

226 6 Formulación k-cosimpléctica de las Teorías Clásicas de Campos
y
En coordenadas locales se tienen las siguientes expresiones
η A = dt A , θ A =
n
i=1
p A i dq i ω A =
n
dq i ∧ dp A i , 1 ≤ A ≤ k . (6.2)
Las formas η A y ω A son cerradas. Además si consideramos los conjuntos
i=1
ker η A : = {X ∈ T (R k × (T 1 k ) ∗ Q)/ η A (X) = 0}
ker ω A : = {X ∈ T (R k × (T 1 k ) ∗ Q)/ ıXω A = 0}
se comprueba que se verifican las siguientes relaciones:
(1) η1 ∧ . . . ∧ ηk = 0, (ηA
)
A=1
A=1
V
= 0, ωA
V ×V
= 0,
k
(2) ( ker η A k
) ∩ ( ker ω A k
) = {0}, dim( ker ω A ) = k,
donde V = ker T (ˆπQ)1,0 es la distribución vertical de dimension nk asociada a
(ˆπQ)1,0. Esta distribución se expresa localmente como sigue:
C. Variedades k-cosimplécticas
∂
V =
∂p 1 i
, . . . , ∂
∂p k i
A=1
i=1,...,n
A partir del modelo geométrico que se acaba de describir M. de León et al. introdujeron
las variedades k-cosimplécticas (véase [83, 84]) dando la siguiente definición:
Definición 6.1 Sea M una variedad diferenciable de dimensión k + n(k + 1). Una
familia (η A , ω A , V ; 1 ≤ A ≤ k), donde cada η A es una 1-forma cerrada, cada ω A es
una 2-forma cerrada y V es una distribución integrable en M de dimensión nk, tal
que
(1) η1 ∧ . . . ∧ ηk = 0, ηA
V
= 0, ωA
V ×V
= 0,