Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

1.2.3 Campos de k-vectores y sopde’s en T 1 k Q. 29
i ∂
En coordenadas canónicas, si Z = Z
∂qi entonces la expresión local de ZC es:
Z C = Z
i ∂ ∂Z
+ vj
∂qi A
k
∂qj ∂
∂v k A
. (1.37)
El siguiente resultado pone de manifiesto que el levantamiento canónico de aplicaciones
al fibrado tangente de k 1 -velocidades preserva las estructuras canónicas de
T 1 k Q.
Lema 1.39 Sea Φ = T 1 k ϕ : T 1 k Q → T 1 k Q la prolongación canónica de un difeomorfismo
ϕ : Q → Q. Entonces
(a) T Φ ◦ J A = J A ◦ T Φ , (b) T Φ(∆A) = ∆A , (c) T Φ(∆) = ∆ .
Demostración:
(a) Es una consecuencia directa de la expresión local (1.25) de J A y la expresión
local de T 1 k ϕ dada por T 1 k ϕ(qi , v i A ) = (ϕj (q i ), v i A
las componentes del difeomorfismo ϕ : Q → Q.
∂ϕ j
∂q i ) donde las funciones ϕ j denotan
(b) Es una consecuencia de la conmutatividad T 1 k ϕ ◦ ψA t = ψ A t ◦ T 1 k ϕ, donde ψA t
son los grupos locales 1-paramétricos de difeomorfismos (1.28) generados por ∆A.
(c) Es una consecuencia directa de (b) y de ser ∆ = ∆1 + . . . + ∆k.
1.2.3. Campos de k-vectores y sopde’s en T 1 k Q.
En el desarrollo del formalismo lagrangiano k-simpléctico aparecen ciertas ecuaciones
en derivadas parciales (EDP’s) de segundo orden definidas en T 1 k Q. Estas
EDP’s aparecen asociadas a ciertos campos de k-vectores, que denominaremos sopde’s,
( abreviatura del inglés second order partial differential equations). En esta
sección vamos a recordar cuáles son los campos de k-vectores que dan lugar a ecuaciones
en derivadas parciales de segundo orden y daremos una caracterización de los
mismos en términos de la estructura k-tangente canónica y los campos de vectores
canónicos ∆1, . . . , ∆k.