Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

6.1.2 Formalismo hamiltoniano. Ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl. 231
Localmente, si f(t B , q j ) = (f A (t B , q j ), f i Q (qj )) entonces
j 1∗ f(t B , q j , p B j ) =
f A (t B , q j ), f i Q(q j A ∂f
),
∂q k + pB k
∂f A
∂t B
∂(f −1
Q )k
∂q i
◦ fQ(q j )
. (6.3)
Teniendo en cuenta esta definición se introduce el levantamiento de campos de
vectores de R k × Q a R k × (T 1 k )∗ Q como sigue.
Definición 6.4 Sea Z ∈ X(R k ×Q) un campo de vectores ˆπQ-proyectable. El levantamiento
natural de Z a R k × (T 1 k )∗ Q es el campo de vectores Z 1 ∗ cuyo grupo
local uniparamétrico de difeomorfismos son los levantamientos {j 1∗ σs} del grupo
uniparamétrico local de difeomorfismos {σs} de Z.
A ∂ ∂
Localmente, si Z = Z + Zi , entonces
∂tA ∂qi Z 1 ∗ A
A ∂ ∂ dZ
= Z + Zi +
∂tA ∂qi donde d/dq i denota la derivada total, esto es,
d ∂
=
dqi ∂qi + pBi dq i − pB j
∂
.
∂tB dZ j
dqi
∂
∂pB i
Observación 6.5 Saunders también define el levantamiento de campos de vectores
a J 1 ˆπQ = R k × (T 1 k )∗ Q sin imponer la restricción de que sean ˆπQ-proyectables.
En el caso particular de que los campos sean ˆπQ-proyectables las dos definiciones
introducidas por Saunders coinciden.
Definición 6.6 Denotemos por Secc(R k , R k × (T 1 k )∗ Q) el conjunto de secciones con
soporte compacto de
ˆπ R k ◦ (ˆπQ)1,0 : R k × (T 1 k ) ∗ Q → R k .
Sea H: Rk × (T 1 k )∗Q → R un hamiltoniano, se define la acción integral asociada
a H por
H : Secc(Rk , Rk × (T 1 k )∗Q) → R
ψ ↦→ H(ψ) =
R k ψ∗Θ ,
,
⋄