Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

1.1.1 Fundamentos geométricos. 5
El siguiente diagrama recoge la notación, que emplearemos a lo largo de esta
memoria, para referirnos a las proyecciones canónicas relativas al fibrado de las
k 1 -covelocidades:
(T 1 k )∗Q πk,A
Q
πk
Q
T ∗ Q
en donde π k,A
Q : (T 1 k )∗ Q → T ∗ Q es la proyección canónica definida como sigue:
B. Formas canónicas en (T 1 k )∗ Q.
Q
πQ
π k,A
Q (α1q, . . . , αkq) = αAq , 1 ≤ A ≤ k .
En este epígrafe describiremos ciertas estructuras geométricas en (T 1 k )∗ Q, que
se definen de modo canónico. Estas estructuras serán utilizadas en la descripción
k-simpléctica hamiltoniana, véase la sección 1.1.3.
Definición 1.2 De modo natural se definen, sobre (T 1 k )∗ Q, las 1-formas canónicas
θ 1 , . . . , θ k a través de la composición:
esto es,
θ A (α1q, . . . , αkq)
T(α1q,...,αkq)((T 1 k )∗ Q)
X(α1q,...,αkq)
θ A (α1q,...,αkq)
(πk Q )∗(α1q,...,αkq)
:= αAq
TqQ
αAq
R
(π k Q)∗(α1q, . . . , αkq)(X(α1q,...,αkq))
para X(α1q,...,αkq) ∈ T(α1q,...,αkq)((T 1 k )∗ Q), (α1q, . . . , αkq) ∈ (T 1 k )∗ Q y q ∈ Q.
A partir de las formas anteriores se definen las k 2-formas presimplécticas,
(1.1)
ω A = − dθ A , 1 ≤ A ≤ k . (1.2)
En un sistema local de coordenadas (q i , p A i )1≤i≤n,1≤A≤k las formas canónicas se
escriben como sigue:
θ A = p A i dq i , ω A = dq i ∧ dp A i , 1 ≤ A ≤ k . (1.3)