Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

78 3 Teoría de Campos con ligaduras no-holonómicas. Enfoque k-simpléctico.
(i) Un lagrangiano regular L : T 1 k Q → R.
(ii) Una subvariedad de ligaduras M ↩→ T 1 k Q.
Esta subvariedad M puede expresarse localmente mediante ecuaciones de la
forma
Φα(q i , v i A) = 0
con α = 1, . . . , m. Además se impone la condición de que la matriz (∂Φα/∂vi A )
tenga rango máximo m. Obsérvese que Φα(qi , vi A ) = 0 serán las ecuaciones de
ligadura.
(iii) Un fibrado F de formas de ligadura y una distribución de ligaduras S inducida
por F , ambos objetos definidos a lo largo de M.
El fibrado F va a jugar el mismo papel que el fibrado de fuerzas de reacción
en la Mecánica no-holonómica.
A continuación estudiaremos los objetos geométricos mencionados en (ii) y (iii).
3.1.1. La subvariedad de ligaduras.
Suponemos que M ↩→ T 1 k Q es una subvariedad de T 1 k Q de codimensión m, que
representa algunas ligaduras externas impuestas al campo. Aunque se pueden considerar
situaciones más generales, para mayor claridad nos restringiremos al caso en
el que la subvariedad M verifica las siguientes condiciones:
(1) M se proyecta sobre toda la variedad Q, es decir, τ k Q (M) = Q.
(2) La restricción τ k Q |M: M → Q de τ k Q a M es un fibrado vectorial.
Puesto que M es una subvariedad de T 1 k Q, siempre se puede encontrar un recubrimiento
U de M formado por una familia de subconjuntos abiertos U de T 1 k Q, con
M ∩ U = ∅, y tales que, en cada abierto U ∈ U, existen m funciones diferenciables
e independientes Φα que determinan M de forma local, es decir,
M ∩ U = {wq = (v1q, . . . , vkq) ∈ T 1 k Q| Φα(wq) = 0 para 1 ≤ α ≤ m} . (3.1)