Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

304 7 Formalismo k-cosimpléctico y conexiones no lineales en R k × Q → R k .
= (XC(Γi A ) − XA(Γi ∂L
C ))
∂vi C
2 ∂ L
+
∂tA∂v k + v
C
i ∂
A
2L ∂qi∂v k + (XA)
C
j ∂
B
2L ∂v j
B∂vk − δ
C
A ∂L
C
∂qi
(vk C − ΓkC )
= (XC(Γi A ) − XA(Γi ∂L
C ))
∂vi
+ XA(
C
∂L
∂vk ) − δ
C
A ∂L
C
∂qk
(v k C − Γ k C)
de donde, teniendo en cuenta la hipótesis, se obtiene que
XA(E ∇ L ) + Y 1 A(L) = 0 .
En el capítulo anterior, Teorema 6.32, se ha probado que si L es un lagrangiano
regular y X = (X1, . . . , Xk) es una solución integrable de las ecuaciones geométricas
de Euler-Lagrange (6.43), entonces X es un sopde. Teniendo en cuenta esto y el
lema anterior se obtiene el siguiente corolario:
Corolario 7.29 Sean L un lagrangiano regular y (X1, . . . , Xk) una solución integrable
de las ecuaciones geométricas de Euler-Lagrange, (6.43). Supongamos además
que L, XA, y ∇ satisfacen las hipótesis (7.49) del lema anterior.
Y 1 A
Bajo estas condiciones, si el lagrangiano L es invariante por las prolongaciones
, esto es, si se verifica
Y 1 A(L) = 0,
entonces E ∇ L es constante a lo largo de las secciones integrales de (X1, . . . , Xk).
Demostración:
Por ser L un lagrangiano regular y (X1, . . . , Xk) una solución integrable de las
ecuaciones geométricas de Euler-Lagrange (6.43), entonces (X1, . . . , Xk) es un sopde.
Así estamos en condiciones de aplicar el lema anterior de donde se deduce que
XA(E ∇ L ) + Y 1 A(L) = 0 .
Además, por hipótesis Y 1 A (L) = 0 y por tanto
XA(E ∇ L ) = 0 .
Sea φ [1] (t) un sección integral de (X1, . . . , Xk) entonces
0 = XA(φ [1] (t))(E ∇ L ) = φ [1]
∗ (t)( ∂
∂t A )(E∇ L ) = ∂
∂t A (E∇ L ◦ φ [1] ) 1 ≤ A ≤ k.