Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

2.2.4 Simetrías lagrangianas gauge 71
de donde se sigue la igualdad buscada.
Recíprocamente, supongamos L1 = L2 + ˆα (salvo constantes). En primer lugar,
un sencillo cálculo nos proporciona
ω A L2 − ωA L1 = d(θA L1 − θA L2 ) = d(d(L1 − L2) ◦ J A ) = d(dˆα ◦ J A ) = d((τ k Q )∗ α A )
Así ωA L1 = ωA . Además,
L2
= (τ k Q )∗ (dα A ) = 0 .
EL1 = ∆(L1)−L1 = ∆(L2 + ˆα)−(L2 + ˆα) = EL2 + ˆα− ˆα = EL2 (salvo constantes),
puesto que ∆(ˆα) = ˆα.
Como ω A L1 = ωA L2 y EL1 = EL2 (salvo constante ) entonces L1 y L2 son lagrangianos
gauge equivalentes. (véase Proposición 2.34).
2.2.4. Simetrías lagrangianas gauge
Teniendo en mente los resultados de la sección anterior, podemos definir:
Definición 2.39 Sea (T 1 k Q, ωA L , EL) un sistema lagrangiano k-simpléctico.
(1) Una simetría lagrangiana gauge es un difeomorfismo Φ: T 1 k Q → T 1 k Q tal
que L y Φ∗L son lagrangianos gauge equivalentes; esto es, Φ∗L = L + ˆα (salvo
constantes), siendo ˆα ∈ C∞ (T 1 k Q) la función definida en la Proposición 2.36.
Una simetría lagrangiana gauge se dice natural si existe un difeomorfismo
ϕ: Q → Q tal que Φ = (T 1 k )ϕ.
(2) Un simetría lagrangiana infinitesimal gauge es un campo de vectores
Y ∈ X(TQ) cuyos flujos locales son simetrías lagrangianas gauge.
Una simetría lagrangiana infinitesimal gauge se dice natural si existe un campo
de vectores Z ∈ X(Q) tal que Y = Z C ,
En esta sección tendrán especial interés las simetrías lagrangianas gauge (infinitesimales)
naturales ya que se pueden relacionar con las simetrías de Cartan
(infinitesimales) naturales definidas en 2.21, como veremos en la proposición 2.42.