Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.3.3 Formalismo lagrangiano. 189
esto es, ξ es un sopde y en este caso la primera de las ecuaciones anteriores se
simplifica como sigue:
y β
∂ 2 L
Aρiβ ∂qi∂y α A
+ (ξA) β
Demostremos ahora el item (2).
B
∂ 2 L
∂y α A ∂yβ
B
= ρ i α
∂L
+ yβ
∂qi ∂L
ACγ βα
∂y γ
A
. (5.54)
Sea Φ : R k → k
⊕ E la aplicación asociada con un morfismo de algebroides de Lie
Φ : T R k → E.
Si Φ(t) = (φi (t), φα A (t)) es una sección integral del sopde ξ solución de (5.52)
entonces de la condición de sección integral (5.40), la identidad (5.53) y (5.54) obtenemos
∂φi ∂tA
∂ 2 L
t ∂qi∂y α A
Φ(t)
+ ∂φβ B
∂tA
t
∂ 2 L
∂y α A ∂yβ
B
Φ(t)
∂φi ∂tA
t
= ρ i α
0 = ∂φα A
∂t B
∂L
∂qi
Φ(t)
= ρ i αφ α A(t) ,
−
t
∂φαB ∂tA
+ φ β
ACγ βα
t
∂L
∂y γ
,
Φ(t)
A
+ C α βγφ β
B (t)φγ
A (t)
donde la última ecuación es una consecuencia de la condición de morfismo de algebroides
de Lie (5.47). Las ecuaciones anteriores se pueden escribir como sigue
k ∂
∂tA
∂L
Φ(t)
A=1
∂y α A
∂φi ∂tA
t
= ρ i α
∂L
∂qi
Φ(t)
= ρi αφα A (t) ,
0 = ∂φα A
∂t B
obteniéndose las ecuaciones (5.49) .
t
− ∂φα B
∂t A
+ φ β
CCγ βα
t
∂L
∂y γ
Φ(t)
C
+ C α βγφ β
B (t)φγ A (t) ,
(5.55)
Observación 5.38 Si reescribimos esta sección en el caso particular k = 1, reobtenemos
la descripción de Mecánica lagrangiana en términos de algebroides de Lie
(Ver sección 3.1 en [24] o sección 2.2 en [72]).