Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

4.2 Conexiones no lineales en el fibrado vectorial τ k Q : T 1 k Q → Q. 121
El punto principal de esta demostración es que j◦i = 0, lo que es una consecuencia
directa de las expresiones locales (4.3) y (4.7) de i y j respectivamente.
Observación 4.7 Antes de continuar con nuestro estudio, en el siguiente diagrama
se recogen las secciones que hemos definido en los apartados anteriores.
0
1 Tk Q ×Q T 1 k Q i
1 T (Tk Q)
T 1 k Q
δ
A
X
δA
j
δA
X
1 Tk Q ×Q T Q
Las aplicaciones i y j, que nos permitieron definir la sucesión anterior, también
nos permiten definir k aplicaciones kA entre los fibrados T 1 k Q ×Q T Q y T 1 k Q ×Q T 1 k Q
del siguiente modo:
kA : T 1 k Q ×Q T Q −→ T 1 k Q ×Q T 1 k Q
(vq, uq) → (vq, (0, . . . , 0, A uq, 0, . . . , 0)
0
1 ≤ A ≤ k .
Estas aplicaciones nos permiten introducir, de modo alternativo, la estructura
k-tangente canónica (J 1 , . . . , J k ) que hemos definido en la sección 1.2.1. En efecto,
se verifica que la composición i ◦ kA ◦ j,
i ∂
Z
∂qi
T (T 1 k Q)
∂
+ Z
vq
i A
∂vi
vq A
j
1 Tk Q ×Q T Q
i ∂
(vq, Z
∂qi
)
q
kA
1 Tk Q ×Q T 1 k Q
A
i ∂
(vq, (0, . . . , Z
∂qi
, . . . , 0)
q
i
1 T (Tk Q)
i ∂
Z
∂vi
vq A
es el campo de tensores J A de tipo (1, 1) en T 1 k Q, donde (J 1 , . . . , J k ) es la estructura
k-tangente canónica en T 1 k Q, véase [80, 107, 119].
4.2. Conexiones no lineales en el fibrado vectorial
τ k Q : T 1 k Q → Q.
En esta sección vamos a considerar conexiones de Ehresmann o conexiones no
lineales en el fibrado tangente de las k 1 -velocidades. Recordemos que una conexión
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