Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

354 A Simetrías y leyes de conservación
y por tanto la hipótesis Φ ∗ H = H se escribe localmente del siguiente modo:
H(q j , p B j ) = (H ◦ Φ)(q j , p B j ) = H(Φ i (q j , p B j ), Φ A i (q j , p B j )) .
de donde se obtienen las identidades
∂H
∂qj
w
= ∂H
∂qi ∂H
w
=
∂H
∂qi
∂p A j
para todo w ∈ (T 1 k )∗ Q.
Φ(w)
∂Φ i
∂q j
w
∂Φi
Φ(w) ∂pA
j w
+ ∂H
∂p A i
+ ∂H
∂p B i
∂Φ
Φ(w)
A i
∂qj
∂Φ
Φ(w)
B i
∂pA j
w
w
En segundo lugar, de la hipótesis Φ ∗ ω A = ω A , 1 ≤ A ≤ k deducimos
0 = ∂Φi
∂q j
0 = ∂Φi
∂p B j
δ k j δ A C = ∂Φi
∂q j
w
w
w
∂Φ A i
∂q k
∂Φ A i
∂p C k
∂Φ A i
∂p C k
(A.1)
(A.2)
(A.3)
w
, 1 ≤ A ≤ k (A.4)
w
w
− ∂Φi
∂p C k
w
∂Φ A i
∂q j
. (A.5)
w
Además, al ser Φ un difeomorfismo, Φ ◦ Φ −1 = id (T 1 k ) ∗ Q. Aplicando la regla de la
cadena obtenemos:
δ i k = ∂(Φ ◦ Φ−1 ) i
∂q k
0 = ∂(Φ ◦ Φ−1 ) i
∂p B k
0 = ∂(Φ ◦ Φ−1 ) A i
∂q j
δ i j δ A C = ∂(Φ ◦ Φ−1 ) A i
∂p C j
w
w
= ∂Φi
∂q j
= ∂Φi
∂q j
∂(Φ
Φ−1 (w)
−1 ) j
w
=
w
∂ΦAi ∂qk
=
w
∂ΦAi ∂qk ∂q k
+ ∂Φi
∂p A j
Φ −1 (w)
∂(Φ
Φ−1 (w)
−1 ) j
∂pB
+
k
w
∂Φi
∂pA j
∂(Φ
Φ−1 (w)
−1 ) k
∂qj
+
w
∂ΦAi ∂pB k
Φ −1 (w)
∂(Φ−1 ) k
∂pC
j w
+ ∂ΦA i
∂p B k
De las ecuaciones (A.4), (A.5), (A.6) y (A.8) se obtiene
∂Φ A s
∂p C k
= δ
Φ−1 (w)
A C
∂(Φ−1 ) k
w
∂q s
Φ −1 (w)
∂(Φ −1 ) A j
∂q k
∂(Φ −1 ) A j
∂p B k
w
w
∂(Φ
Φ−1 (w)
−1 ) B k
∂qj
∂(Φ
Φ−1 (w)
−1 ) B k
∂pC j
(A.6)
(A.7)
(A.8)
w
.(A.9)
w
, (A.10)