Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

64 2 Simetrías y Leyes de conservación
en donde hemos usado (2.32).
Recíprocamente, supongamos que L Z Cθ A L = d(τ k Q )∗ g A , 1 ≤ A ≤ k y Z C (EL) = 0 .
La condición L Z Cθ A L = d(τ k Q )∗ g A , 1 ≤ A ≤ k equivale a
Por lo tanto tenemos
de donde se obtiene
o equivalentemente
Z i ∂2L ∂qi∂v k +
A
∂Zj
∂qk Z i ∂2L ∂qi∂v k +
A
∂Zj
∂qk v k AZ i ∂2L ∂qi∂v k + v
A
k ∂Z
A
j
∂qk ∂L
∂v j + v
A
i ∂Z
B
j
∂qi ∂L
∂v j + v
A
i ∂Z
B
j
∂qi ∂L
∂v j + v
A
k Av i ∂Z
B
j
∂qi Z C (∆L) = dT g .
∂2L ∂v j
B∂vk
dq
A
k = ∂gA
∂qk dqk .
∂ 2 L
∂v j
B ∂vk A
∂ 2 L
∂v j
B ∂vk A
= ∂gA
∂q k
= v k ∂g
A
A
∂qk Entonces puesto que 0 = Z C (EL) = Z C (∆L) − Z C (L) = dT g − Z C (L) se obtiene
Z C (L) = dT g .
Observación 2.30 Teniendo en cuenta la equivalencia establecida en el Lema anterior
obtenemos que la condición Z C (L) = dT g implica que
Z C (EL) = 0 y L Z Cω A L = −dL Z Cθ A L = −d(d(τ k Q) ∗ g A ) = 0 .
Por lo tanto si Z C (L) = dT g entonces Z C es una simetría de Cartan infinitesimal
natural del sistema lagrangiano k-simpléctico (T 1 k Q, ωA , EL).
Así podemos aplicar la Proposición 2.23. Comparando el item (2) de la Proposición
2.23 y el item (2) del Lema 2.29 obtenemos que las funciones F 1 , . . . , F k , bajo
la hipótesis Z C (L) = dT g son:
F A = Z VA (L) − (τ k Q) ∗ g A A = 1, . . . , k .
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