Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

de (A.4), (A.5), (A.8) y (A.9) obtenemos
δ A D
∂Φ s
∂p C k
Φ −1 (w)
de (A.3), (A.5), (A.6) y (A.8) se sigue que
∂Φ A s
∂q j
= − δ A C
∂(Φ−1 ) k
∂pD
s w
= −
Φ−1 (w)
∂(Φ−1 ) A j
∂qs y de (A.3), (A.5), (A.7) y (A.9) deducimos
∂Φ s
∂q j
= δ
Φ−1 (w)
A B
∂(Φ −1 ) A j
∂p B s
355
, (A.11)
, (A.12)
w
. (A.13)
w
Para finalizar vamos a comprobar que las identidades (a) y (b) se verifican:
k
A=1
∂(Φ ◦ ψ) A i
∂t A
=
t
∂ΦAi ∂qj
ψ(t)
∂ψj ∂tA
t
+ ∂ΦA i
∂p B j
∂ψ
ψ(t)
B j
∂tA k
+ δ
A=1
A ∂(Φ
B
−1 ) j
∂qi
∂ψ
ψ(t)
B j
∂tA
=
t
∂ΦAi ∂qj
∂H
ψ(t) ∂pA
j ψ(t)
= ∂ΦAi ∂qj
∂H
ψ(t) ∂qk
∂Φ
(Φ◦ψ)(t)
k
∂pA
+
j ψ(t)
∂H
∂pB
∂Φ
k
(Φ◦ψ)(t)
B k
∂pA j
− ∂(Φ−1 ) j
∂qi
∂H
(Φ◦ψ)(t) ∂qk
∂Φ
(Φ◦ψ)(t)
k
∂qj
+
ψ(t)
∂H
∂pB k
= ∂H
∂qk A
∂Φi
(Φ◦ψ)(t) ∂qj
∂Φ
ψ(t)
k
∂pA
−
j ψ(t)
∂(Φ−1 ) j
∂qi
(Φ◦ψ)(t)
+ ∂H
∂pB A
∂Φi
k
(Φ◦ψ)(t) ∂qj
∂Φ
ψ(t)
B k
∂pA
−
j ψ(t)
∂(Φ−1 ) j
∂qi
= ∂H
∂qk A
∂Φi
(Φ◦ψ)(t) ∂qj
∂Φ
ψ(t)
k
∂pA
− δ
j ψ(t)
k i + ∂Φk
∂pB
l
ψ(t)
+ ∂H
∂p B k
= ∂H
∂qk
(Φ◦ψ)(t)
(Φ◦ψ)(t)
∂Φ A i
∂q j
∂Φ A i
∂q j
∂Φ
ψ(t)
B k
∂pA j
∂Φk
ψ(t) ∂pA
j ψ(t)
+
ψ(t)
∂ΦBk ∂pC j
− δ k i − ∂Φk
∂p B l
=
t
∂ΦAi ∂qj − ∂(Φ−1 ) j
∂q i
ψ(t)
∂Φ
(Φ◦ψ)(t)
B k
∂qj (Φ◦ψ)(t)
∂Φ k
∂q j
∂Φ B k
∂q j
∂(Φ −1 ) B l
∂q i
∂(Φ
ψ(t)
−1 ) C j
∂qi
ψ(t)
∂Φ B i
∂q l
ψ(t)
ψ(t)
(Φ◦ψ)(t)
ψ(t)
ψ(t)
(Φ◦ψ)(t)
(Φ◦ψ)(t)
ψ(t)
∂ψj ∂tA
t
∂H
∂qj
ψ(t)