Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

2.2.1 Simetrías y leyes de conservación 57
H = EL ◦ F L −1 . Teniendo en cuenta la expresión local de F L (1.34) y aplicando de
nuevo la regla de la cadena se obtiene la última familia de identidades.
∂H
∂q i
+ ∂H
∂p B j
∂H
F L(w)
+ ∂H
(F L◦Φ)(w)
∂ 2 L
∂q k ∂v j
B
∂ 2 L
= ∂H
∂qj
∂pB
j F L(w) ∂qi∂v j
w
B
∂Φ
Φ(w)
k
∂qi
w
∂ 2 L
∂pB
j F L(w) ∂vi A∂vj
w
B
+ ∂H
∂pB
j (F L◦Φ)(w)
= ∂H
∂qj
2 ∂ L
∂qk∂v j
B
(F L◦Φ)(w)
+ ∂2 L
∂v k A ∂vj
B
∂Φj
(F L◦Φ)(w) ∂vi
A w
∂Φk
Φ(w) ∂vi
A w
+ ∂2 L
∂v k C ∂vj
B
∂Φ j
∂q i
Φ(w)
Φ(w)
w
∂Φ k A
∂q i
∂Φ k C
∂v i A
w
w
(2.20)
. (2.21)
Estas últimas identidades, (2.20) y (2.21), son una parte fundamental de la demostración
de esta proposición. Observemos que en estas identidades encontramos:
(i) Las derivadas parciales
∂H
∂q i
(F L◦Φ◦φ (1) )(t)
y
∂H
∂p A i
,
(F L◦Φ◦φ (1) )(t)
que aparecen en las identidades (2.14) que tenemos que probar,
(ii) La relación de las derivadas parciales anteriores con las derivadas parciales
∂H
∂q i
que ya conocemos por (2.19).
(F L◦φ (1) )(t)
y
∂H
∂p A i
,
(F L◦φ (1) )(t)
A partir de un extenso cálculo, de las ecuaciones (2.15-2.17), (2.19-2.21) uno
prueba
0 = ∂2L ∂vs D∂vl
∂H
A
(Φ◦φ (1) )(t) ∂pA
−
l
(F L◦Φ◦φ (1) )(t)
∂Φl
∂qj
∂φ
φ (1) (t)
j
∂tA
−
t
∂Φl
∂v j
∂
φ (1) (t)
B
2φj ∂tA∂tB
t
y puesto que L es regular, de la anterior identidad deducimos que
∂H
∂p A l
(F L◦Φ◦φ (1) )(t)
= ∂Φl
∂q j
φ (1) (t)
∂φj ∂tA
t
+ ∂Φl
∂v j
B
∂
φ (1) (t)
2φj ∂tA∂tB
t
. (2.22)