Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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168 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie Con la finalidad de introducir el concepto de sopde en algebroides de Lie vamos a recordar el concepto de sopde en T 1 k Q, (para más detalles véase la sección 1.2.3.) y Un sopde en T 1 k Q es una sección de las aplicaciones τ k T 1 k Q: T 1 k (T 1 k Q) → T 1 k Q T 1 k (τ k Q ): T 1 k (T 1 k Q) → T 1 k Q (v1wq , . . . , vkwq ) ↦→ wq (v1wq , . . . , vkwq ) ↦→ (Twq(τ k Q )(v1wq ), . . . , Twq(τ k , )(vkwq Q )) donde τ k Q : T 1 k Q → Q denota la proyección canónica del fibrado de las k1 -velocidades. Volviendo al contexto de algebroides de Lie, tenemos que definir dos aplicaciones que se correspondan con las dos anteriores del caso estándar. Sabemos que: k ⊕ E juega el papel de T 1 k Q, TE ( k ⊕ E) el de T (T 1 k Q) y T 1 k (T 1 k Q) es la suma de Whitney de k copias de T (T 1 k Q). Entonces es natural pensar que la suma de Whitney de k copias de TE ( k ⊕ E), esto es, T E ( k ⊕ E)⊕ k . . . ⊕T E ( k ⊕ E) jugará el papel de T 1 k (T 1 k Q) = T (T 1 k Q)⊕ k . . . ⊕T (T 1 k Q) . La pregunta que surge ahora de modo natural es: ¿qué aplicaciones se corresponden, en el contexto de los algebroides de Lie, con τ k T 1 k Q y T 1 k (τ k Q )?. A lo largo de los siguientes apartados daremos la respuesta a esta pregunta. A. La k-prolongación de E sobre τ: k ⊕ E → Q. Sea E un algebroide de Lie sobre una variedad diferenciable Q de dimensión n y τ k ⊕E : TE ( k ⊕ E) → k ⊕ E la prolongación de E mediante τ: k ⊕ E → Q.
5.3.2 Ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden. 169 Denotaremos por (TE ) 1 k k ( ⊕ E) la suma de Whitney de k copias de la prolongación TE ( k ⊕ E) ≡ E ×T Q T ( k ⊕ E), esto es, (T E ) 1 k( k ⊕ E) = T E ( k ⊕ E)⊕ k . . . ⊕T E ( k ⊕ E) . Así los elementos de (TE ) 1 k k ( ⊕ E) son de la forma ((a1q, v1bq ), . . . , (akq, vkbq )) donde cada (aAq, vAbq ) pertenece a la fibra (TE ( k (τ k ⊕E )−1 (bq). ⊕ E))bq = Eq ×T Q (Tbq( k ⊕ E)) = Denotaremos por τ k k : (T ⊕E E ) 1 k k ( ⊕ E) → k ⊕ E la proyección canónica dada por: τ k k ((a1q, v1bq ⊕E ), . . . , (akq, vkbq )) = bq . Denominamos k-prolongación de E sobre τ: k ⊕ E → Q al fibrado (TE ) 1 k k ( ⊕ E). A partir de la aplicación τ1: TE ( k ⊕ E) = E×T QT ( k ⊕ E) → E, esto es la proyección sobre el primer factor, podemos definir la proyección como sigue τ k 1 : = τ1⊕ k . . . ⊕τ1: (T E ) 1 k( k ⊕ E) → k ⊕ E τ k 1 ((a1q, v1bq ), . . . , (akq, vkbq )) = (a1q, . . . , akq) . Observación 5.20 Consideremos ahora el caso particular E = T Q y ρ = idT Q donde recordemos que ρ: E → T Q denota el ancla del algebroide de lie E. Teniendo en cuenta la observación 5.11, el la que se estableció el difeomorfismo se deduce: T (T 1 k Q) ≡ TT Q (T 1 k Q) = (T Q) ×T Q T (T 1 k Q) vwq ≡ (T (τ k Q )(vwq), vwq)
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Apéndice B Espacios vectoriales k-
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Apéndice C Índice de símbolos En
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M ⊂ T 1 k Q Subvariedad de ligadu
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Conclusiones. El punto de partida d
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Bibliografía [1] R. Abraham-J. E.
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Bibliografía 385 [75] M. de León,
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Bibliografía 389 [124] D. J. Saund
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